22、指数不变量与根系分类的深入剖析

指数不变量与根系分类的深入剖析

1. 多项式互素性与根系基础概念

在代数结构中，我们从多项式的互素性开始探讨。对于多项式 (1 - X_{1}^{n}) 和 (1 - X_{1}^{m}X_{2}) ，在代数 (B) 里， (1 - zX_{1}) 是 (1 - X_{1}^{n}) 的极值因子。通过同态 (f) ，满足 (f(X_{1}) = z^{-1}) ， (f(X_{i}) = X_{i}) （ (i\geq2) ），我们发现 (f(1 - zX_{1}) = 0) ，而 (f(1 - X_{1}^{m}X_{2}) = 1 - z^{-m}X_{2}\neq0) ，这表明 (1 - X_{1}^{n}) 和 (1 - X_{1}^{m}X_{2}) 在 (B) 中互素。在 (A[P]) 里，它们的任何公因子在 (B) 中可逆，进而在 (A) 中也可逆，所以 (1 - X_{1}^{n}) 和 (1 - X_{1}^{m}X_{2}) 在 (A[P]) 中互素。

接下来引入根系的概念，设 (R) 是实向量空间 (V) 中的约化根系， (P) 为 (R) 的权群。群 (W = W(R)) 作用在 (P) 上，也作用在代数 (A[P]) 上，满足 (w(e^{p}) = e^{w(p)}) （ (w\in W) ， (p\in P) ）。给定 (R) 的一个腔 (C) 及其对应的基 (B = (\alpha_{i}) {1\leq i\leq l}) ，我们为 (V) （进而 (P) ）赋予由 (C) 定义的序结构：若 (p,p’\in P) ， (p\leq p’) 当且仅当 (p - p’) 是 (\alpha {i}) 的正系数线性组合。

对于元