36、数学基础：极限、连续性、导数与分布

数学基础：极限、连续性、导数与分布

1. 范数对偶关系

在数学领域，范数的对偶关系是一个重要的概念。对于范数 $\ell_p$ 和 $\ell_q$，当满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ 时，$\ell_1$ 和 $\ell_{\infty}$ 互为对偶，而常见的欧几里得范数 $\ell_2$ 与自身对偶。在某些情况下，当范数 $\ell_p$ 不重要或者从上下文可以明确时，我们会简单地将其写作 $|x|$。

2. 最大值、最小值、上确界和下确界

2.1 最大值与 $\arg\max$

设 $A \subseteq \mathbb{R}$，我们用 $\max A$ 表示集合 $A$ 中的最大元素。在实际应用中，我们常常会处理由某个集合 $I$ 中的索引 $\iota$ 所引用的元素，此时会用 $\max_{\iota \in I} a_{\iota}$ 作为 $\max{a_{\iota} : \iota \in I}$ 的简写。同时，我们定义 $\arg\max_{\iota \in I} a_{\iota}$ 为集合 $I$ 中能使 $a_{\iota}$ 达到最大值的索引 $\tilde{\iota}$，即对于所有 $\iota \in I$，都有 $a_{\tilde{\iota}} \geq a_{\iota}$。如果有多个索引都满足这个条件，那么 $\arg\max_{\iota \in I} a_{\iota}$ 可以取其中任意一个索引。

2.2 上确界

一般来说，对于集合 $A \subseteq \mathbb{R}$，$\max A$ 不一定存在，因为集合