本文整理一些与极限和连续有关的概念和定理。
1 实数线的拓扑
我们先从探讨“距离”的概念出发。我们知道对于x,y∈Rx,y\in Rx,y∈R,可以定义一个非负的Euclidean distance∣x−y∣|x-y|∣x−y∣。通过这个,我们可以定义某个点x∈Rx\in Rx∈R的ε\varepsilonε-邻域(ε\varepsilonε-neighbourhood)为集合S(x,ε)={ y:∣x−y∣<ε}S(x,\varepsilon)=\{y:|x-y|\lt \varepsilon\}S(x,ε)={ y:∣x−y∣<ε},其中ε>0\varepsilon\gt 0ε>0。
如果对于集合A⊆RA\subseteq RA⊆R,∀x∈A\forall x\in A∀x∈A,都∃ε>0\exists \varepsilon\gt 0∃ε>0,使得该点的ε\varepsilonε-邻域是AAA的子集,这样的集合AAA叫开集(open set)。RRR和∅\emptyset∅也都为开集。
RRR上的所有开集组成的collection,称为topology of RRR(拓扑),或者usual topology on RRR(通常拓扑)。我们还可以在RRR的子集或子空间(subspace)上讨论topology,对于A⊆S⊆RA\subseteq \mathbb{S}\subseteq RA⊆S⊆R,如果∀x∈A\forall x\in A∀x∈A,都∃S(x,ε)\exists S(x,\varepsilon)∃S(x,ε),使得S(x,ε)∩S⊆AS(x,\varepsilon)\cap \mathbb{S} \subseteq AS(x,ε)∩S⊆A,就称AAA在S\mathbb{S}S中是开的(AAA is open in S\mathbb{S}S)。比如[0,1)[0,1)[0,1),在RRR中不是开的,但在S=[0,2]\mathbb{S}=[0,2]S=[0,2]中是开的。所有这些集合定义了relative topology on S\mathbb{S}S(相对拓扑),由定义直接可得以下定理。
定理:若AAA在RRR中是开的,则A∩SA\cap \mathbb{S}A∩S在relative topology on S\mathbb{S}S中是开的。
对于某个点x∈Rx\in Rx∈R,若∀ε>0\forall \varepsilon \gt 0∀ε>0,A∩S(x,ε)A\cap S(x,\varepsilon)A∩S(x,ε)均为非空集合,则称xxx为集合AAA的一个闭包点(closure point),它不一定是AAA中的元素。AAA的所有的闭包点组成了AAA的闭包(closure),记作Aˉ\bar AAˉ或(A)−(A)^-(A)−。
对于某个点x∈Rx\in Rx∈R,若它是A−{ x}A-\{x\}A−{ x}的闭包点,则称它是AAA的会聚点(accumulation point)。若xxx是AAA的闭包点且x∉Ax\notin Ax∈/A,则xxx也是AAA的会聚点。而那些不是会聚点的闭包点,就是AAA的孤点(isolated point)。比如集合A={ 0}∪[1,2]A=\{0\}\cup[1,2]A={ 0}∪[1,2],则x=0x=0x=0为AAA的孤点。
若点x∈Aˉx\in \bar Ax∈Aˉ满足∀ε>0\forall \varepsilon\gt 0∀ε>0,Ac∩S(x,ε)A^c\cap S(x,\varepsilon)Ac∩S(x,ε)均非空,则xxx称为集合AAA的边界点(boundary point)。可以将AAA的所有边界点组成的集合记为∂A\partial A∂A,则Aˉ=A∪∂A\bar A = A\cup\partial AAˉ=A∪∂A。
AAA的内部(interior)就是集合Ao=A−∂AA^o=A-\partial AAo=A−∂A。
闭集(Closed set)就是包含了该集合自己所有的闭包点的集合,对这样的集合来说,Aˉ=A\bar A=AAˉ=A。
定理:RRR上的开集,其补集是闭集。
这是闭集的另一个定义。可以看出,RRR和∅\emptyset∅都既是开集又是闭集。推广至relative topologies,有如下定理。
定理:若AAA在S⊆R\mathbb{S}\subseteq RS⊆R中是开的,则S−A\mathbb{S}-AS−A在S\mathbb{S}S中是闭的。
定理:(1)开集的collection的并是开的;(2)若AAA和BBB都是开的,那么A∩BA\cap BA∩B也是开的。
定理:每个开集A∈RA\in RA∈R都可表达为可数个不交开区间的并。
定理:B\mathscr{B}B包含了RRR中的开集和闭集。
若一个collection C\mathscr{C}C满足对于一个A⊆RA\subseteq RA⊆R,A⊆∪B∈CBA\subseteq \cup_{B\in\mathscr{C}}BA⊆∪B∈CB,则称C\mathscr{C}C为AAA的一个覆盖(covering)。若这里每个BBB都是开集,则称该覆盖为开覆盖(open covering)。
定理 (Lindelof’s covering theorem):对于由RRR上的开子集组成的任意的一个collectionC\mathscr{C}C,必定存在可数的subcollection {
Bi∈C,i∈N}\{B_i\in \mathscr{C}, i\in N\}{
Bi∈C,i∈N},使得
∪B∈CB=∪i=1∞Bi \cup_{B \in \mathscr{C}} B = \cup_{i=1}^{\infty} B_i ∪B∈CB=∪i=1∞Bi
这也就是说,若C\mathscr{C}C是RRR中某个集合的覆盖,那么它必定包含了一个可数的子覆盖。这也叫Lindelof property。
由覆盖的概念,可以导出一个更重要的概念:紧致性(compactness):若对于集合AAA,每个AAA的开覆盖都包含了一个有限的子覆盖,则称AAA是紧的(compact)。
理解这个概念的关键在于“每个”和“开覆盖”。举个例子,对于(0,1](0,1](0,1],可数collection{ (1/n,1],n∈N}\{(1/n,1],n\in N\}{ (1/n,1],n∈N}是一个开覆盖,但没有有限的子覆盖,因此(0,1](0,1](0,1]不是紧的。
若∃x∈A\exists x\in A∃x∈A和ε>0\varepsilon \gt 0ε>0,A⊆S(x,ε)A\subseteq S(x,\varepsilon)A⊆S(x,ε),则称AAA是有界的(bounded)。换句话说,有界集合必须被一个有限区间所包含。有了有界的概念,我们回到紧致性。
定理:在RRR中的一个集合是紧的,当且仅当它是闭的、有界的。
对于AAA的子集BBB,若B⊆A⊆BˉB\subseteq A\subseteq \bar BB⊆A⊆Bˉ,则称BBB在AAA中稠密(dense)。
定理:若AAA是RRR上的区间,C⊆AC\subseteq AC⊆A是一个可数集合,则A−CA-CA−C在AAA中稠密。
2 序列和极限
实序列(real sequence)是一个从NNN到RRR的映射,定义域中的元素称为indices,它们的值域称为序列的项/成员/坐标(terms/members/coordinates)。
称{ xn}1∞\{x_n\}_1^{\infty}{ xn}1∞ 收敛于(converge to)极限xxx,若∀ε>0\forall \varepsilon \gt 0∀ε>0,∃Nε\exists N_\varepsilon∃Nε,使得∀n>Nε,∣xn−x∣<ε\forall n>N_\varepsilon, |x_n-x|\lt \varepsilon∀n>Nε,∣xn−x∣<ε。若序列趋于±∞\pm\infty±∞则称发散(diverge),有时这也叫在Rˉ\bar RRˉ中收敛,这是为了区别它们与那些不收敛到一个固定点的序列。
定理:任意在紧集中的单调序列均收敛。
即使序列不收敛,也可能会无限次地到达某个点。若存在子序列(subsequence){ xnk,k∈N}\{x_{n_k},k\in N\}{ xnk,k∈N}和常数ccc,使得xnk→cx_{n_k}\to cxn