数学基础系列：极限与连续

本文整理一些与极限和连续有关的概念和定理。

1 实数线的拓扑

我们先从探讨“距离”的概念出发。我们知道对于$x,y\in R$，可以定义一个非负的Euclidean distance$|x-y|$。通过这个，我们可以定义某个点$x\in R$的$\epsilon$-邻域（$\epsilon$-neighbourhood）为集合S(x,ε)={ y:∣x−y∣<ε}S(x,\varepsilon)=\{y:|x-y|\lt \varepsilon\}S(x,ε)={ y:∣x−y∣<ε}，其中$\epsilon >0$。

如果对于集合$A\subseteq R$，$\forall x\in A$，都$\exists \epsilon >0$，使得该点的$\epsilon$-邻域是$A$的子集，这样的集合$A$叫开集（open set）。$R$和$\varnothing$也都为开集。

$R$上的所有开集组成的collection，称为topology of $R$（拓扑），或者usual topology on $R$（通常拓扑）。我们还可以在$R$的子集或子空间（subspace）上讨论topology，对于$A\subseteq \mathbb{S}\subseteq R$，如果$\forall x\in A$，都$\exists S(x,\epsilon )$，使得$S(x,\epsilon )\cap \mathbb{S}\subseteq A$，就称$A$在$\mathbb{S}$中是开的（$A$ is open in $\mathbb{S}$）。比如$[0,1)$，在$R$中不是开的，但在$\mathbb{S}=[0,2]$中是开的。所有这些集合定义了relative topology on $\mathbb{S}$（相对拓扑），由定义直接可得以下定理。

定理：若$A$在$R$中是开的，则$A\cap \mathbb{S}$在relative topology on $\mathbb{S}$中是开的。

对于某个点$x\in R$，若$\forall \epsilon >0$，$A\cap S(x,\epsilon )$均为非空集合，则称$x$为集合$A$的一个闭包点（closure point），它不一定是$A$中的元素。$A$的所有的闭包点组成了$A$的闭包（closure），记作$\bar{A}$或$(A{)}^{-}$。

对于某个点$x\in R$，若它是A−{ x}A-\{x\}A−{ x}的闭包点，则称它是$A$的会聚点（accumulation point）。若$x$是$A$的闭包点且$x\notin A$，则$x$也是$A$的会聚点。而那些不是会聚点的闭包点，就是$A$的孤点（isolated point）。比如集合A={ 0}∪[1,2]A=\{0\}\cup[1,2]A={ 0}∪[1,2]，则$x=0$为$A$的孤点。

若点$x\in \bar{A}$满足$\forall \epsilon >0$，$A^c\cap S(x,\epsilon )$均非空，则$x$称为集合$A$的边界点（boundary point）。可以将$A$的所有边界点组成的集合记为$\partial A$，则$\bar{A}=A\cup \partial A$。

$A$的内部（interior）就是集合$A^o=A-\partial A$。

闭集（Closed set）就是包含了该集合自己所有的闭包点的集合，对这样的集合来说，$\bar{A}=A$。

定理：$R$上的开集，其补集是闭集。

这是闭集的另一个定义。可以看出，$R$和$\varnothing$都既是开集又是闭集。推广至relative topologies，有如下定理。

定理：若$A$在$\mathbb{S}\subseteq R$中是开的，则$\mathbb{S}-A$在$\mathbb{S}$中是闭的。

定理：（1）开集的collection的并是开的；（2）若$A$和$B$都是开的，那么$A\cap B$也是开的。

定理：每个开集$A\in R$都可表达为可数个不交开区间的并。

定理：$\mathcal{B}$包含了$R$中的开集和闭集。

若一个collection $\mathcal{C}$满足对于一个$A\subseteq R$，$A\subseteq {\cup }_{B\in \mathcal{C}}B$，则称$\mathcal{C}$为$A$的一个覆盖（covering）。若这里每个$B$都是开集，则称该覆盖为开覆盖（open covering）。

定理 （Lindelof’s covering theorem）：对于由$R$上的开子集组成的任意的一个collection$\mathcal{C}$，必定存在可数的subcollection { Bi∈C,i∈N}\{B_i\in \mathscr{C}, i\in N\}{ Bi​∈C,i∈N}，使得
$${\cup }_{B\in \mathcal{C}}B={\cup }_{i=1}^{\infty }{B}_i$$

这也就是说，若$\mathcal{C}$是$R$中某个集合的覆盖，那么它必定包含了一个可数的子覆盖。这也叫Lindelof property。

由覆盖的概念，可以导出一个更重要的概念：紧致性（compactness）：若对于集合$A$，每个$A$的开覆盖都包含了一个有限的子覆盖，则称$A$是紧的（compact）。

理解这个概念的关键在于“每个”和“开覆盖”。举个例子，对于$(0,1]$，可数collection{ (1/n,1],n∈N}\{(1/n,1],n\in N\}{ (1/n,1],n∈N}是一个开覆盖，但没有有限的子覆盖，因此$(0,1]$不是紧的。

若$\exists x\in A$和$\epsilon >0$，$A\subseteq S(x,\epsilon )$，则称$A$是有界的（bounded）。换句话说，有界集合必须被一个有限区间所包含。有了有界的概念，我们回到紧致性。

定理：在$R$中的一个集合是紧的，当且仅当它是闭的、有界的。

对于$A$的子集$B$，若$B\subseteq A\subseteq \bar{B}$，则称$B$在$A$中稠密（dense）。

定理：若$A$是$R$上的区间，$C\subseteq A$是一个可数集合，则$A-C$在$A$中稠密。

2 序列和极限

实序列（real sequence）是一个从$N$到$R$的映射，定义域中的元素称为indices，它们的值域称为序列的项/成员/坐标（terms/members/coordinates）。

称{ xn}1∞\{x_n\}_1^{\infty}{ xn​}1∞​ 收敛于（converge to）极限$x$，若$\forall \epsilon >0$，$\exists N_{\epsilon }$，使得$\forall n>N_{\epsilon },|x_n-x|<\epsilon$。若序列趋于$\pm \infty$则称发散（diverge），有时这也叫在$\bar{R}$中收敛，这是为了区别它们与那些不收敛到一个固定点的序列。

定理：任意在紧集中的单调序列均收敛。

即使序列不收敛，也可能会无限次地到达某个点。若存在子序列（subsequence）{ xnk,k∈N}\{x_{n_k},k\in N\}{ xnk​​,k∈N}和常数$c$，使得$x_{n_{}}$