数学基础系列:极限与连续

本文深入探讨数学中的极限与连续概念,包括实数线的拓扑、序列和极限、函数及连续性,解释了开集、闭集、紧致性、连续函数和一致连续性等关键概念,以及在不同场景下的应用。通过实例和定理阐述了实数序列的收敛性、函数连续性以及向量与函数的关系,展示了数学中极限理论的深刻性和实用性。

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本文整理一些与极限和连续有关的概念和定理。

1 实数线的拓扑

我们先从探讨“距离”的概念出发。我们知道对于x,y∈Rx,y\in Rx,yR,可以定义一个非负的Euclidean distance∣x−y∣|x-y|xy。通过这个,我们可以定义某个点x∈Rx\in RxRε\varepsilonε-邻域ε\varepsilonε-neighbourhood)为集合S(x,ε)={ y:∣x−y∣<ε}S(x,\varepsilon)=\{y:|x-y|\lt \varepsilon\}S(x,ε)={ y:xy<ε},其中ε>0\varepsilon\gt 0ε>0

如果对于集合A⊆RA\subseteq RAR∀x∈A\forall x\in AxA,都∃ε>0\exists \varepsilon\gt 0ε>0,使得该点的ε\varepsilonε-邻域是AAA的子集,这样的集合AAA开集(open set)RRR∅\emptyset也都为开集。

RRR上的所有开集组成的collection,称为topology of RRR(拓扑),或者usual topology on RRR(通常拓扑)。我们还可以在RRR的子集或子空间(subspace)上讨论topology,对于A⊆S⊆RA\subseteq \mathbb{S}\subseteq RASR,如果∀x∈A\forall x\in AxA,都∃S(x,ε)\exists S(x,\varepsilon)S(x,ε),使得S(x,ε)∩S⊆AS(x,\varepsilon)\cap \mathbb{S} \subseteq AS(x,ε)SA,就称AAAS\mathbb{S}S中是的(AAA is open in S\mathbb{S}S)。比如[0,1)[0,1)[0,1),在RRR中不是开的,但在S=[0,2]\mathbb{S}=[0,2]S=[0,2]中是开的。所有这些集合定义了relative topology on S\mathbb{S}S(相对拓扑),由定义直接可得以下定理。

定理:若AAARRR中是开的,则A∩SA\cap \mathbb{S}AS在relative topology on S\mathbb{S}S中是开的。

对于某个点x∈Rx\in RxR,若∀ε>0\forall \varepsilon \gt 0ε>0A∩S(x,ε)A\cap S(x,\varepsilon)AS(x,ε)均为非空集合,则称xxx为集合AAA的一个闭包点(closure point),它不一定是AAA中的元素。AAA的所有的闭包点组成了AAA闭包(closure),记作Aˉ\bar AAˉ(A)−(A)^-(A)

对于某个点x∈Rx\in RxR,若它是A−{ x}A-\{x\}A{ x}的闭包点,则称它是AAA会聚点(accumulation point)。若xxxAAA的闭包点且x∉Ax\notin Ax/A,则xxx也是AAA的会聚点。而那些不是会聚点的闭包点,就是AAA孤点(isolated point)。比如集合A={ 0}∪[1,2]A=\{0\}\cup[1,2]A={ 0}[1,2],则x=0x=0x=0AAA的孤点。

若点x∈Aˉx\in \bar AxAˉ满足∀ε>0\forall \varepsilon\gt 0ε>0Ac∩S(x,ε)A^c\cap S(x,\varepsilon)AcS(x,ε)均非空,则xxx称为集合AAA边界点boundary point)。可以将AAA的所有边界点组成的集合记为∂A\partial AA,则Aˉ=A∪∂A\bar A = A\cup\partial AAˉ=AA

AAA内部interior)就是集合Ao=A−∂AA^o=A-\partial AAo=AA

闭集Closed set)就是包含了该集合自己所有的闭包点的集合,对这样的集合来说,Aˉ=A\bar A=AAˉ=A

定理RRR上的开集,其补集是闭集。

这是闭集的另一个定义。可以看出,RRR∅\emptyset都既是开集又是闭集。推广至relative topologies,有如下定理。

定理:若AAAS⊆R\mathbb{S}\subseteq RSR中是开的,则S−A\mathbb{S}-ASAS\mathbb{S}S中是闭的。

定理:(1)开集的collection的并是开的;(2)若AAABBB都是开的,那么A∩BA\cap BAB也是开的。

定理:每个开集A∈RA\in RAR都可表达为可数个不交开区间的并。

定理B\mathscr{B}B包含了RRR中的开集和闭集。

若一个collection C\mathscr{C}C满足对于一个A⊆RA\subseteq RARA⊆∪B∈CBA\subseteq \cup_{B\in\mathscr{C}}BABCB,则称C\mathscr{C}CAAA的一个覆盖covering)。若这里每个BBB都是开集,则称该覆盖为开覆盖open covering)。

定理 (Lindelof’s covering theorem):对于由RRR上的开子集组成的任意的一个collectionC\mathscr{C}C,必定存在可数的subcollection { Bi∈C,i∈N}\{B_i\in \mathscr{C}, i\in N\}{ BiC,iN},使得
∪B∈CB=∪i=1∞Bi \cup_{B \in \mathscr{C}} B = \cup_{i=1}^{\infty} B_i BCB=i=1Bi

这也就是说,若C\mathscr{C}CRRR中某个集合的覆盖,那么它必定包含了一个可数的子覆盖。这也叫Lindelof property

由覆盖的概念,可以导出一个更重要的概念:紧致性compactness):若对于集合AAA每个AAA开覆盖都包含了一个有限的子覆盖,则称AAA紧的compact)。

理解这个概念的关键在于“每个”和“开覆盖”。举个例子,对于(0,1](0,1](0,1],可数collection{ (1/n,1],n∈N}\{(1/n,1],n\in N\}{ (1/n,1],nN}是一个开覆盖,但没有有限的子覆盖,因此(0,1](0,1](0,1]不是紧的。

∃x∈A\exists x\in AxAε>0\varepsilon \gt 0ε>0A⊆S(x,ε)A\subseteq S(x,\varepsilon)AS(x,ε),则称AAA有界的bounded)。换句话说,有界集合必须被一个有限区间所包含。有了有界的概念,我们回到紧致性。

定理:在RRR中的一个集合是紧的,当且仅当它是闭的、有界的。

对于AAA的子集BBB,若B⊆A⊆BˉB\subseteq A\subseteq \bar BBABˉ,则称BBBAAA稠密dense)。

定理:若AAARRR上的区间,C⊆AC\subseteq ACA是一个可数集合,则A−CA-CACAAA中稠密。

2 序列和极限

实序列(real sequence)是一个从NNNRRR的映射,定义域中的元素称为indices,它们的值域称为序列的项/成员/坐标(terms/members/coordinates)。

{ xn}1∞\{x_n\}_1^{\infty}{ xn}1 收敛于converge to)极限xxx,若∀ε>0\forall \varepsilon \gt 0ε>0∃Nε\exists N_\varepsilonNε,使得∀n>Nε,∣xn−x∣<ε\forall n>N_\varepsilon, |x_n-x|\lt \varepsilonn>Nε,xnx<ε。若序列趋于±∞\pm\infty±则称发散diverge),有时这也叫在Rˉ\bar RRˉ中收敛,这是为了区别它们与那些不收敛到一个固定点的序列。

定理:任意在紧集中的单调序列均收敛。

即使序列不收敛,也可能会无限次地到达某个点。若存在子序列(subsequence){ xnk,k∈N}\{x_{n_k},k\in N\}{ xnk,kN}和常数ccc,使得xnk→cx_{n_k}\to cxn

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