25、多智能体系统中TeamLog的复杂性研究

多智能体系统中TeamLog的复杂性研究

在多智能体系统的研究中，TeamLog逻辑的复杂性是一个关键问题。本文将深入探讨TeamLog逻辑在不同限制条件下的复杂性，以及如何通过一些方法来降低其复杂性，使其更易于管理和应用。

1. 游戏与公式可满足性

在特定游戏中，公式 ϕ(G) 起着重要作用。公式 (9.15) 规定模型的根节点接收数字 (0 … 0)₂，游戏后续轮次对应状态的世界接收二进制表示的后续数字。公式 INC0 负责增加偶数，INC1(i) 负责增加以 i 个 1 结尾且第 i + 1 位为 0 的奇数。

公式 ϕ(G) 是公式 (9.1 - 9.15) 的合取，其大小相对于 m 是多项式的。如果玩家 A 在特定游戏中有获胜策略，那么公式 ϕ(G) 在基于该游戏树构建的模型中是可满足的。玩家 A 回合对应的边构成可达关系 B₁ 的基础，玩家 B 回合对应的边构成可达关系 B₂ 的基础。为满足模型的性质，在违反串行性的世界中，B₁ 和 B₂ 通过恒等关系进行扩展。其他关系 Bi 和 Ii 设置为恒等关系，关系 Gi 设置为空集。模型中世界的命题变量赋值由游戏对应状态的情况自动确定。

另一方面，如果 ϕ(G) 是可满足的，玩家 A 可以将 ϕ(G) 的模型作为获胜策略的指导。开始时，玩家 A 选择通过可达关系 B₁ 转移到 win 为真的世界，并据此进行游戏。在游戏的后续轮次中，玩家 A 交替遵循关系 B₁ 和 B₂，追踪对应后续轮次状态的世界。对于玩家 A 要进行游戏且有获胜策略（即 win 为真）的所有世界 v，根据公式 (9.9)，必须满足 (v, v) ∉ B₁。对于玩家 B 要进行游戏的状态和关系 B₂ 也是如此。公式 (9.14) 保证，如果玩家 A 按照上述方式游戏，将在有限步骤内到达获胜位置。

2. 限制命题原子数量的影响

当命题原子数量限制为 1 时，TeamLog 的可满足性问题仍然是 EXPTIME - 困难的。可以通过类似于 Halpern (1995) 中描述的技术来证明这一点。具体做法是，用所谓的 pp 类公式替换定理 9.5 证明中使用的命题符号，这些 pp 类公式在模型世界中的赋值独立性方面具有与命题原子相似的性质。假设命题原子用 qj 表示，那么替换命题符号 qj 的 pp 类公式为 ¬OP(k, ¬p ∧ ¬BELj(1, ¬p))，其中 OP(k, ·) 是定理 9.5 证明中未使用的任何模态运算符。

然而，需要注意的是，这种方法不适用于带有组运算符 M - INT 的逻辑 KD1 和带有组运算符 C - BEL 的逻辑 KD452，因为在这些情况下没有“自由”的模态运算符可用于 OP(k, ·)。目前还不清楚在限制命题原子数量时，这些逻辑的可满足性问题的复杂性如何。

如果同时限制命题原子数量和公式的模态深度，复杂性会降低到线性时间。定理 9.6 表明，对于任何固定的 k, l ≥ 1，如果命题原子数量限制为 l，公式的模态深度限制为 k，那么 TeamLog 的可满足性问题可以在线性时间内解决。

3. 限制模态上下文的影响

之前的研究表明，将公式的模态深度降低到 2 并不能将复杂性降低到 EXPTIME 以下，即使将命题原子数量减少到 1 也不够。只有同时结合这两种限制，才能将复杂性降低到线性时间，但此时仍然存在一个与命题数量和模态深度呈指数关系的常数，因此在实际应用中这种限制可能难以处理。

为了解决这个问题，Dziubiński (2007) 提出了一种新的方法来限制具有迭代模态（如共同信念和相互意图）的多模态逻辑的语言。他的限制可以看作是对公式模态深度限制的推广，将 TeamLog 的可满足性问题从 EXPTIME - 完全（完整语言）降低到具有受限模态上下文的公式的 PSPACE - 完全。此外，这种限制与限制公式的模态深度相结合，会使可满足性问题变为 NPTIME - 完全。

下面我们来详细了解相关概念：
- 模态上下文的定义 ：对于基于一元模态运算符集合 的多模态语言 L[]，公式 ξ 在公式 ϕ 中的模态上下文 cont(ξ, ϕ) ⊆ 定义如下：
- 如果 ξ ∉ Sub(ϕ)，则 cont(ξ, ϕ) = ∅；
- cont(ϕ, ϕ) = {ε}；
- 如果 ξ ≠ ¬ψ，则 cont(ξ, ¬ψ) = cont(ξ, ψ)；
- 如果 ξ ≠ ψ₁ ∧ ψ₂，则 cont(ξ, ψ₁ ∧ ψ₂) = cont(ξ, ψ₁) ∪ cont(ξ, ψ₂)；
- 如果 ξ ≠ □ψ 且 □ ∈ ，则 cont(ξ, □ψ) = □ · cont(ξ, ψ)，其中 □ · S = {□ · s : s ∈ S}。
- 模态上下文限制的定义 ：模态上下文限制是 上的序列集合 S ⊆ ，用于约束公式中子公式的可能模态上下文。如果对于所有 ξ ∈ Sub(ϕ)，都有 cont(ξ, ϕ) ⊆ S，则称公式 ϕ ∈ L[] 满足模态上下文限制 S。

Dziubiński (2007) 研究了 TeamLog 的两种模态上下文限制 R1 和 R2：
- 限制 R1 ：
[
R_1 = \tau^ \setminus \left( \tau^ \cdot \left[ \bigcup_{G \in P(A) \setminus { \emptyset }} (SI(G) \cup SIB(G)) \cup \bigcup_{G \in P(A), |G| \geq 2} SB(G) \right] \cdot \tau^* \right)
]
其中：
- (SIB(G) = \bigcup_{H \in P(A), H \cap G \neq \emptyset} M - INT_G \cdot C - BEL_H \cdot TI(G \cap H) \cup \bigcup_{j \in G} M - INT_G \cdot BEL_j \cdot TI({j}))
- (SB(G) = C - BEL_G \cdot TB(G))
- (TB(G) = {BEL_j : j \in G} \cup {C - BEL_H : H \in P(A), H \cap G \neq \emptyset})
- (SI(G) = M - INT_G \cdot TI(G))
- (TI(G) = {INT_j : j \in G} \cup {M - INT_H : H \in P(A), H \cap G \neq \emptyset})
满足限制 R1 的公式集合记为 LR₁。限制 R1 禁止了一些特定形式的公式，例如：
- (M - INT_{{1,2}}(INT(1, p)))
- (M - INT_{{1,2}}(q \vee INT(2, p)))
- (M - INT_{{1,2}}(M - INT_{{2,3,4}}(p)))
- (M - INT_{{1,2}}(M - INT_{{3,4}}(q \wedge INT(3, r))))
- (C - BEL_{{1,2}}(BEL(1, p)))
- (C - BEL_{{1,2}}(q \vee BEL(2, p)))
- (C - BEL_{{1,2}}(C - BEL_{{2,3,4}}(p)))
- (C - BEL_{{1,2}}(C - BEL_{{3,4}}(q \wedge BEL(3, r))))
- (M - INT_{{1,2}}(BEL(1, INT(1, p))))
- (M - INT_{{1,2}}(BEL(2, q \vee INT(2, p))))
- (M - INT_{{1,2}}(BEL(2, M - INT_{{2,3,4}}(p))))
而以下公式是允许的：
- (M - INT_{{1,2}}(BEL(1, INT(2, p))))
- (C - BEL_{{1,2}}(BEL(3, C - BEL_{{1,2}}(p))))
- (M - INT_{{1,2}}(q) \wedge C - BEL_{{1,2}}(M - INT_{{1,2}}(q)))

下面是一个简单的 mermaid 流程图，展示了判断公式是否满足 R1 限制的过程：

graph TD;
    A[输入公式] --> B{是否包含禁止形式};
    B -- 是 --> C[不满足 R1 限制];
    B -- 否 --> D[满足 R1 限制];

• 限制 R2 ：
  [
  R_2 = \tau^ \setminus \left( \tau^ \cdot \left[ \bigcup_{G \in P(A) \setminus { \emptyset }} (SI(G) \cup SIB(G)) \cup \bigcup_{G \in P(A), |G| \geq 2} \tilde{SB}(G) \right] \cdot \tau^* \right)
  ]
  其中：
  • (\tilde{SB}(G) = C - BEL_G \cdot \left( {GOAL_j : j \in G} \cup \bigcup_{O \in {B, I}} TO(G) \right))
    满足限制 R2 的公式集合记为 LR₂。限制 R2 是 R1 的细化，它进一步禁止了在某些情况下直接上下文为 C - BELG(·) 的 INT(j, ψ)、GOAL(j, ψ) 和 M - INTH(ψ) 形式的公式。例如，公式 (M - INT_{{1,2}}(q) \wedge C - BEL_{{1,2}}(M - INT_{{1,2}}(q))) 满足 R1 但违反 R2。

下面是两种限制下的复杂性结果总结：
| 限制 | 复杂性结果 |
| ---- | ---- |
| LR₂ | - 检查 LR₂ 中公式的 TeamLog 可满足性是 PSPACE - 完全的。
- 检查模态深度受常数 k 限制的 LR₂ 中公式的 TeamLog 可满足性是 NPTIME - 完全的，复杂度为 O(((2|A| + 1)|ϕ|)k(|A| + 1))，其中 |ϕ| 是输入公式的大小。 |
| LR₁ | - 检查 LR₁ 中公式的 TeamLog 可满足性是 PSPACE - 完全的，即使公式的模态深度受常数 k ≥ 2 限制也是如此。
- 模态上下文限制 R1 可以进一步细化，结合限制公式的模态深度可使可满足性问题变为 NPTIME - 完全，且不排除集体意图（而 R2 排除）。 |

综上所述，通过限制命题原子数量、模态深度和模态上下文，可以有效地降低 TeamLog 的复杂性。在实际应用中，可以根据具体需求选择合适的限制条件，以提高系统的性能和可管理性。未来的研究可以进一步探索如何结合这些限制条件，以及开发更高效的算法和启发式方法来处理复杂的多智能体系统。同时，近似推理等技术也为降低复杂性提供了新的思路和方法。

4. 公理系统介绍

为了更好地理解 TeamLog 逻辑，我们需要了解其背后的公理系统。这些公理系统涵盖了个体态度、集体态度以及社会承诺等方面的规则和关系。

4.1 个体和集体态度的公理

• 通用公理和规则 ：
  • P1 ：所有命题重言式的实例。这是命题推理的基础，确保了基本逻辑规则的正确性。
  • PR1 ：从 ϕ 和 ϕ → ψ 推导得出 ψ（假言推理）。这是一种常见的逻辑推理规则，用于从已知的前提得出结论。
• 个体信念的公理和规则 ：对于每个代理 i，遵循 KD45n 系统，包括以下内容：
  • A2 ：BEL(i, ϕ) ∧ BEL(i, ϕ → ψ) → BEL(i, ψ)（信念分配）。意味着如果代理 i 相信 ϕ 并且相信 ϕ 能推出 ψ，那么代理 i 也相信 ψ。
  • A4 ：BEL(i, ϕ) → BEL(i, BEL(i, ϕ))（正内省）。即如果代理 i 相信 ϕ，那么代理 i 也相信自己相信 ϕ。
  • A5 ：¬BEL(i, ϕ) → BEL(i, ¬BEL(i, ϕ))（负内省）。表示如果代理 i 不相信 ϕ，那么代理 i 相信自己不相信 ϕ。
  • A6 ：¬BEL(i, ⊥)（一致性）。说明代理 i 不会相信矛盾的事情。
  • R2 ：从 ϕ 推断 BEL(i, ϕ)（信念泛化）。即如果某个命题为真，那么代理 i 相信该命题。
• 个体动机运算符的公理 ：
  • 目标 ：对于每个代理 i，遵循 Kn 系统：
    • A2G ：GOAL(i, ϕ) ∧ GOAL(i, ϕ → ψ) → GOAL(i, ψ)（目标分配）。类似于信念分配，表明如果代理 i 有目标 ϕ 并且知道 ϕ 能推出 ψ，那么代理 i 也有目标 ψ。
    • R2G ：从 ϕ 推断 GOAL(i, ϕ)（目标泛化）。即如果某个命题为真，那么代理 i 将其作为目标。
  • 意图 ：对于每个代理 i，遵循 KDn 系统：
    • A2I ：INT(i, ϕ) ∧ INT(i, ϕ → ψ) → INT(i, ψ)（意图分配）。意味着如果代理 i 有意图 ϕ 并且知道 ϕ 能推出 ψ，那么代理 i 也有意图 ψ。
    • R2I ：从 ϕ 推断 INT(i, ϕ)（意图泛化）。即如果某个命题为真，那么代理 i 有意图实现该命题。
    • A6I ：¬INT(i, ⊥)（意图一致性）。说明代理 i 不会有实现矛盾事情的意图。
• 意图与其他态度的相互依赖关系 ：对于每个代理 i：
  • A7GB ：GOAL(i, ϕ) → BEL(i, GOAL(i, ϕ))（目标正内省）。即如果代理 i 有目标 ϕ，那么代理 i 相信自己有目标 ϕ。
  • A7IB ：INT(i, ϕ) → BEL(i, INT(i, ϕ))（意图正内省）。表示如果代理 i 有意图 ϕ，那么代理 i 相信自己有意图 ϕ。
  • A8GB ：¬GOAL(i, ϕ) → BEL(i, ¬GOAL(i, ϕ))（目标负内省）。说明如果代理 i 没有目标 ϕ，那么代理 i 相信自己没有目标 ϕ。
  • A8IB ：¬INT(i, ϕ) → BEL(i, ¬INT(i, ϕ))（意图负内省）。即如果代理 i 没有意图 ϕ，那么代理 i 相信自己没有意图 ϕ。
  • A9IG ：INT(i, ϕ) → GOAL(i, ϕ)（意图意味着目标）。表明代理的意图必然包含相应的目标。

通过 TeamLogind 表示由上述所有关于个体信念、目标、意图及其相互依赖关系的公理和规则组成的公理系统。

• 一般（“每个人”）和共同信念的公理和规则 ：
  • C1 ：E - BELG(ϕ) ↔ ∧i∈G BEL(i, ϕ)（一般信念）。表示群体 G 中的一般信念是群体中每个个体信念的合取。
  • C2 ：C - BELG(ϕ) ↔ E - BELG(ϕ ∧ C - BELG(ϕ))（共同信念）。共同信念的定义体现了其递归性，即群体 G 的共同信念是群体中每个人都相信 ϕ 并且相信群体 G 有共同信念 ϕ。
  • RC1 ：从 ϕ → E - BELG(ψ ∧ ϕ) 推断 ϕ → C - BELG(ψ)（归纳规则）。用于从一般信念的关系推导出共同信念的关系。
• 一般、相互和集体意图的公理和规则 ：
  • M1 ：E - INTG(ϕ) ↔ ∧i∈G INT(i, ϕ)（一般意图）。说明群体 G 的一般意图是群体中每个个体意图的合取。
  • M2 ：M - INTG(ϕ) ↔ E - INTG(ϕ ∧ M - INTG(ϕ))（相互意图）。相互意图的定义也是递归的，即群体 G 的相互意图是群体中每个人都有意图 ϕ 并且相信群体 G 有相互意图 ϕ。
  • M3 ：C - INTG(ϕ) ↔ M - INTG(ϕ) ∧ C - BELG(M - INTG(ϕ))（集体意图）。集体意图是相互意图和群体对相互意图的共同信念的结合。
  • RM1 ：从 ϕ → E - INTG(ψ ∧ ϕ) 推断 ϕ → M - INTG(ψ)（归纳规则）。用于从一般意图的关系推导出相互意图的关系。

通过 TeamLog 表示 TeamLogind 与上述关于一般和共同信念、一般、相互和集体意图的公理和规则的并集。

下面的 mermaid 流程图展示了个体和集体态度公理系统之间的关系：

graph LR;
    A[个体态度公理] --> B[TeamLogind];
    C[集体态度公理] --> B;
    B --> D[TeamLog];

4.2 社会承诺的公理

社会承诺的定义公理如下：
[
COMM(i, j, ϕ) ↔ INT(i, ϕ) ∧ GOAL(j, done(i, stit(ϕ))) ∧ C - BEL_{{i,j}}(INT(i, ϕ) ∧ GOAL(j, done(i, stit(ϕ))))
]
其中，done(i, stit(ϕ)) 表示代理 i 刚刚确保 ϕ 得以实现。这个公理表明，代理 i 对代理 j 关于 ϕ 的社会承诺包括代理 i 有实现 ϕ 的意图、代理 j 有目标让代理 i 实现 ϕ 以及代理 i 和代理 j 对这些情况的共同信念。

5. 总结与展望

在多智能体系统中，TeamLog 逻辑的复杂性是一个重要的研究课题。通过对命题原子数量、模态深度和模态上下文等方面的限制，可以有效地降低其复杂性。具体来说：
- 限制命题原子数量和模态深度可以将可满足性问题的复杂性降低到线性时间。
- 限制模态上下文可以将可满足性问题从 EXPTIME - 完全降低到 PSPACE - 完全或 NPTIME - 完全。
不同限制条件下的复杂性总结如下表：
| 限制条件 | 复杂性结果 |
| ---- | ---- |
| 限制命题原子数量为 1 | EXPTIME - 困难（部分情况未知） |
| 限制命题原子数量为 l 且模态深度为 k | 线性时间 |
| 模态上下文限制 R1 | PSPACE - 完全（可细化为 NPTIME - 完全） |
| 模态上下文限制 R2 | PSPACE - 完全（模态深度受限为 NPTIME - 完全） |

在实际应用中，我们可以根据具体需求选择合适的限制条件，以提高系统的性能和可管理性。例如，如果对时间要求较高，可以选择同时限制命题原子数量和模态深度；如果需要处理复杂的模态关系，可以考虑使用模态上下文限制。

未来的研究方向包括：
- 进一步探索如何更好地结合不同的限制条件，以达到更优的性能。
- 开发更高效的算法和启发式方法，以处理复杂的多智能体系统。例如，可以借鉴近似推理等技术，降低推理的复杂性。
- 研究如何将这些理论成果应用到实际的多智能体系统中，如机器人协作、网络安全等领域。

通过不断的研究和实践，我们有望更好地理解和应用 TeamLog 逻辑，推动多智能体系统的发展。