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团队逻辑（TeamLog）复杂度分析
在逻辑系统的研究中，复杂度分析是一个至关重要的方面，它有助于我们理解问题求解的难度和算法的效率。本文将深入探讨团队逻辑（TeamLog）的复杂度，包括命题原子数量和模态深度的限制对复杂度的影响，以及 TeamLog 系统可满足性问题的复杂度。
1. 命题原子数量限制对 TEAMLOGind 的影响
对语言的一种自然约束是限制命题原子的数量。研究表明，对于逻辑 Kn、KDn（n ≥ 1）和 KD45n（n ≥ 2），这种限制并不会改变其可满足性问题的难度，即使命题原子数量 |P| = 1。对于我们所研究的逻辑 TEAMLOGind 也是如此，因为 Halpern（1995）证明该事实时所使用的公式可以通过 INT 模态在 TEAMLOGind 中表达。
然而，如果将命题原子数量的限制与公式模态深度的限制相结合，复杂度会降低到线性时间。具体定理如下：
定理 9.3
：对于任意固定的 k, l ≥ 1，如果命题原子数量被限制为 l，且公式的模态深度被限制为 k，那么 TEAMLOGind 的可满足性问题可以在线性时间内解决。
证明思路 ：如果 |P| ≤ l，那么在 TEAMLOGind 语言中，模态深度被限制为 k 的公式基于逻辑等价关系只有有限个等价类。这可以通过对 k 进行归纳证明。因此，存在一个有限的可满足公式集合 ϕ1, …, ϕN，每个公式代表一个特定的等价类，且该等价类中的所有成员都是可满足的，同时存在一个对应的固定有限模型集合 M1, …, MN 满足这些公式。要检查一个公式的可满足性，只需检查它是否在这些模型 M1, …, MN 中的一个中得到满足，而这可以在公式长度的线性时间内完成，因为相关模型集合是固定的，它只影响常数因子。
2. TeamLog 系统的复杂度
我们将证明包含共同信念和共同意图等群体概念的 TeamLog 系统的可满足性问题是 EXPTIME 完全的。
2.1 小模型性质
首先，我们证明 TeamLog 具有小模型性质，即对于每个可满足的公式 ϕ，可以找到一个大小为 O(2|ϕ|) 的满足模型。为了证明这一点，我们使用了过滤技术（Blackburn 等人，2002）。
定义一个公式集合 ，如果它满足以下条件，则称其为封闭的：
-
Cl1
：如果 C - BELG(ϕ) ∈ ，那么 E - BELG(ϕ ∧ C - BELG(ϕ)) ∈ ；
-
Cl2
：如果 E - BELG(ϕ) ∈ ，那么 {BEL(j, ϕ) : j ∈ G} ⊆ ；
-
Cl3
：如果 M - INTG(ϕ) ∈ ，那么 E - INTG(ϕ ∧ M - INTG(ϕ)) ∈ ；
-
Cl4
：如果 E - INTG(ϕ) ∈ ，那么 {INT(j, ϕ) : j ∈ G} ⊆ 。
设 M = (W, {Bi : i ∈ A}, {Gi : i ∈ A}, {Ii : i ∈ A}, Val) 是一个 TEAMLOGind 模型， 是一个封闭集合，定义等价关系 ≡f ⊆ × ，使得对于 {w, v} ⊆ W，w ≡f v 当且仅当对于任何 ϕ ∈ ，M, w ⊨ ϕ ⇔ M, v ⊨ ϕ。定义过滤模型 Mf = (W f, {Bf i : i ∈ A}, {Gf i : i ∈ A}, {I f i : i ∈ A}, Valf ) 如下：
-
F0
：W f = W/≡f，Valf (p, [w]) = Val(p, w)。
-
F1
：Bf i = {([w], [v]) : 对于任何 BEL(i, ϕ) ∈ ，M, w ⊨ BEL(i, ϕ) ⇒ M, v ⊨ ϕ 且对于任何 OP(i, ϕ) ∈ ，M, w ⊨ OP(i, ϕ) ⇔ M, v ⊨ OP(i, ϕ)}，其中 OP ∈ {BEL, GOAL, INT}。
-
F2
：Gf i = {([w], [v]) : 对于任何 GOAL(i, ϕ) ∈ ，M, w ⊨ GOAL(i, ϕ) ⇒ M, v ⊨ ϕ 且对于任何 INT(i, ϕ) ∈ ，M, w ⊨ INT(i, ϕ) ⇒ M, v ⊨ ϕ}。
-
F3
：I f i = {([w], [v]) : 对于任何 INT(i, ϕ) ∈ ，M, w ⊨ INT(i, ϕ) ⇒ M, v ⊨ ϕ}。
可以容易地验证，如果 M 是一个 TEAMLOGind 模型，那么 Mf 也是，并且如果 是一个封闭集合，那么 Mf 是 M 通过 的过滤。由此得到以下标准引理：
引理 9.5
：如果 M 是一个 TEAMLOGind 模型， 是一个封闭的公式集合，那么对于所有 ϕ ∈ 和所有 w ∈ W，M, w ⊨ ϕ 当且仅当 Mf, [w] ⊨ ϕ。
从引理 9.5 可以得出，TeamLog 具有有限模型性质，并且其可满足性问题是可判定的。设 Cl(ϕ) 表示包含 Sub(ϕ) 的最小封闭集合，¬Cl(ϕ) 由 Cl(ϕ) 中的所有公式及其否定组成。如果一个公式 ϕ 是可满足的，那么它在通过 Cl(ϕ) 的过滤模型中是可满足的，并且任何这样的过滤模型最多有 |P (Cl(ϕ))| = O(2|ϕ|) 个状态。
2.2 指数时间算法
接下来，我们给出一个指数时间算法来检查 TeamLog 公式 ϕ 的可满足性。该算法和其有效性证明是对命题动态逻辑（PDL）可满足性检查算法及其有效性证明的修改版本。
算法步骤
：
1.
输入
：一个公式 ϕ
2.
步骤 1
：构造模型 M0 = (W0, {B0i : i ∈ A}, {G0i : i ∈ A}, {I0i : i ∈ A}, Val 0)，其中 W0 是 ¬Cl(ϕ) 的所有最大子集的集合，即对于每个 ψ ∈ Cl(ϕ)，该集合要么包含 ψ 要么包含 ¬ψ。Val0(p, w) = 1 当且仅当 p ∈ w，可达关系的定义与 MfCl(ϕ) 类似。例如，B0i 的定义如下：
-
B1
：B0i = {(w, v) : 对于任何 BEL(i, ϕ) ∈ Cl(ϕ)，BEL(i, ϕ) ∈ w ⇒ ϕ ∈ v 且对于任何 OP(i, ϕ) ∈ Cl(ϕ)，OP(i, ϕ) ∈ w ⇔ OP(i, ϕ) ∈ v}，其中 OP ∈ {BEL, GOAL, INT}。
3.
步骤 2
：通过从 W0 中移除不是封闭命题表的状态来构造模型 M1。
4.
步骤 3
：从 k = 0 开始重复以下操作，直到无法移除任何状态为止：
-
步骤 3.1
：找到一个公式 ψ ∈ ¬Cl(ϕ) 和状态 w ∈ W k，使得 ψ ∈ w 且不满足以下条件之一：
-
AB1
：如果 ψ = ¬BEL(i, χ)，那么存在 v ∈ Bk i 使得 ¬χ ∈ v；
-
AG1
：如果 ψ = ¬GOAL(i, χ)，那么存在 v ∈ Gk i 使得 ¬χ ∈ v；
-
AI1
：如果 ψ = ¬INT(i, χ)，那么存在 v ∈ I k i 使得 ¬χ ∈ v；
-
AB2
：如果 ψ = BEL(i, χ)，那么存在 v ∈ Bk i 使得 χ ∈ v；
-
AI2
：如果 ψ = INT(i, χ)，那么存在 v ∈ I k i 使得 χ ∈ v；
-
AEB1
：如果 ψ = ¬E - BELG(i, χ)，那么存在 v ∈ Bk G（其中 Bk G = ⋃j∈G Bk j）使得 ¬χ ∈ v；
-
AEI1
：如果 ψ = ¬E - INTG(i, χ)，那么存在 v ∈ I k G（其中 I k G = ⋃j∈G I k j）使得 ¬χ ∈ v；
-
ACB1
：如果 ψ = ¬C - BELG(i, χ)，那么存在 v ∈ (Bk G)+ 使得 ¬χ ∈ v；
-
AMI1
：如果 ψ = ¬M - INTG(i, χ)，那么存在 v ∈ (I k G)+ 使得 ¬χ ∈ v。
如果找到这样的状态，则将其从 W k 中移除得到 W k + 1。
5.
步骤 4
：如果在步骤 3 之后得到的模型 Ml 中存在一个包含 ϕ 的状态，那么返回 “可满足”，否则返回 “不可满足”。
算法复杂度分析 ：该算法显然会终止，并且由于每个步骤都可以在多项式时间内完成，因此算法在 O(2|ϕ|) 步后终止。
为了证明算法的有效性，我们需要证明类似于 Harel 等人（2000）中的一个引理：
引理 9.6
：设 k ≥ 1 且假设 M ⊆ Mk。设 χ ∈ Cl(ϕ) 使得 Cl(χ) 中形式为 OP(i, ψ)、OPG(ψ) 或 OP+G(ψ) 的每个公式以及 w ∈ W k 都满足算法步骤 3 的条件。那么：
1. 对于所有 ξ ∈ Cl(χ) 和 v ∈ W k，ξ ∈ v 当且仅当 M, v ⊨ ξ。
2.
-
2.1
：对于任何 OP(i, ξ) ∈ Cl(χ) 和 {w, v} ⊆ W k：
-
2.1.a
：如果 (w, v) ∈ Ri，那么 (w, v) ∈ Rk i；
-
2.1.b
：如果 (w, v) ∈ Rk i 且 OP(i, ξ) ∈ v，那么 ξ ∈ v。
-
2.2
：对于任何 OPG(ξ) ∈ Cl(χ) 和 {w, v} ⊆ W k：
-
2.2.a
：如果 (w, v) ∈ RG，那么 (w, v) ∈ Rk G；
-
2.2.b
：如果 (w, v) ∈ Rk G 且 OPG(ξ) ∈ v，那么 ξ ∈ v。
-
2.3
：对于任何 OP+G(ξ) ∈ Cl(χ) 和 {w, v} ⊆ W k：
-
2.3.a
：如果 (w, v) ∈ (RG)+，那么 (w, v) ∈ (Rk G)+；
-
2.3.b
：如果 (w, v) ∈ (Rk G)+ 且 OP+G(ξ) ∈ v，那么 ξ ∈ v。
证明思路 ：该证明与 Harel 等人（2000）中 PDL 引理的证明类似，TeamLog 的额外性质不影响论证。点 2.1 - 2.3 的证明主要基于 M 是一个过滤模型，使用了与过滤引理证明类似的技术。点 1 的证明是通过对 ξ 的结构进行归纳，与 PDL 引理的类似证明方法相同。
引理 9.7 ：一个公式 ϕ 是可满足的当且仅当算法在输入 ϕ 时返回 “可满足”。
证明思路 ：由于每个状态 w ∈ W 是 ¬Cl(ϕ) 的最大子集，所以 W ⊆ W0。而且，由于每个状态 w ∈ W 是满足算法步骤 2 条件的命题表，所以 W ⊆ W1。步骤 2 中的条件还保证了在步骤 3 中不会删除任何 w ∈ W 的状态。这表明在算法执行过程中构造的所有 W k 都有 W ⊆ W k。因此，如果 ϕ 是可满足的，那么算法将返回 “可满足”。
如果算法步骤 3 之后得到的模型 Ml 非空，那么可以容易地验证它是一个 TEAMLOGind 模型。这是因为算法执行过程中构造的每个模型 Mk 都保留了条件 B1、G1、I1，并且条件 AB2、AI2 保证了关系 Bl i 和 I l i 是串行的。现在，如果存在一个 w ∈ W l 使得 ϕ ∈ w，那么根据引理 9.7 的 1，Ml, w ⊨ ϕ。由于 Ml 是一个 TEAMLOGind 模型，所以 ϕ 是 TeamLog 可满足的。因此，该算法是有效的。
定理 9.4 ：TeamLog 的可满足性问题是 EXPTIME 完全的。
证明 ：从引理 9.5、9.6 和 9.7 可以立即得出可满足性问题属于 EXPTIME。通过与下一节定理 9.5 相同的证明方法可知，它也是 EXPTIME 难的。
以下是该算法的流程图：
graph TD;
A[输入公式 ϕ] --> B[构造模型 M0];
B --> C[构造模型 M1];
C --> D{是否有状态可移除};
D -- 是 --> E[移除不满足条件的状态];
E --> D;
D -- 否 --> F{模型 Ml 中是否有包含 ϕ 的状态};
F -- 是 --> G[返回可满足];
F -- 否 --> H[返回不可满足];
3. 模态深度限制对 TEAMLOG 的影响
与 TEAMLOGind 不同，限制公式的模态深度对 TeamLog 可满足性问题复杂度的影响并不乐观。即使模态深度被限制为 2，可满足性问题仍然是 EXPTIME 难的。
为了证明这一点，我们使用两人走廊瓷砖铺设游戏。游戏规则如下：
- 瓷砖是 1 × 1 的正方形，每个边有固定的颜色。
- 有两个玩家和一个裁判，裁判给出有限的瓷砖类型集合 {T1, …, Ts}。
- 玩家使用这些瓷砖在网格上排列，使得相邻瓷砖公共边的颜色匹配。
- 有两个特殊的瓷砖类型 T0 和 Ts + 1，T0 用于标记走廊边界，Ts + 1 是特殊的获胜瓷砖，只能放在第一列。
- 游戏开始时，裁判用 m 个初始瓷砖填充走廊的第一行，并在第 0 列和第 m + 1 列放置 T0 类型的瓷砖标记边界。
- 两个玩家 A 和 B 交替放置瓷砖，玩家 A 先开始。走廊从下到上、从左到右逐行填充，玩家唯一的选择是放置的瓷砖类型。
- 如果在有限轮数后，第一列放置了类型为 Ts + 1 的瓷砖，那么玩家 A 获胜；否则，玩家 B 获胜。
判断玩家 A 是否存在获胜策略的问题是 EXPTIME 难的（Chlebus，1986）。我们将证明这个问题可以归约为模态深度 ≤ 2 的 TeamLog 公式的可满足性问题。
在 Blackburn 等人（2002）的证明中，为给定的瓷砖铺设游戏构造了一个公式，其模型是游戏树，树的根是当前状态。树的深度被限制为 ms + 2，因为经过 ms + 2 轮后，行必然会重复，并且如果玩家 A 在有重复的游戏中能获胜，那么在无重复的游戏中也能获胜，所以只需要考虑 ms + 2 轮。
该公式使用了两个 PDL 模态 [a] 和 [a∗]，深度被限制为 2。这些模态可以分别用 INT(1, ·) 和 M - INT′{1} 替换，其中 M - INT′G(ϕ) 是 M - INT′G(ϕ) ∧ ϕ 的缩写（注意 [a∗] 是自反的，而 M - INT 不是），证明过程保持不变。因此，即使考虑 n ≥ 1 的 M - INT 和模态深度被限制为 2 的公式，可满足性问题仍然属于 EXPTIME。
下面我们给出一个针对 C - BEL 修改后的证明，此时需要 n ≥ 2。这并不奇怪，因为当 n = 1 时，根据公理 A4 和 A5，C - BEL 等价于 BEL，即 BEL(1, ϕ) 和 BEL(1, BEL(1, ϕ)) 是等价的。
设 G = (m, T, (I1, …, Im)) 是上述两人走廊瓷砖铺设游戏的一个设置，其中 T = {T0, …, Ts + 1}，Ij ∈ T 对于 0 ≤ j ≤ m 表示走廊第一行初始瓷砖的类型。我们构造一个公式 ϕ(G)，使得它可满足当且仅当玩家 A 有获胜策略。构造公式使用的命题符号如下：
-
a
：表示玩家 A 有下一步行动；我们也用 p1 表示 a，p2 表示 ¬a 以简化一些公式。
-
pos1, …, posm
：表示当前轮次中瓷砖要放置的列。
-
coli(T)
：对于 0 ≤ i ≤ m + 1 和 T ∈ T，表示第 i 列之前放置的瓷砖类型为 T。
-
win
：表示当前位置是玩家 A 的获胜位置。
-
q1, …, qN
：其中 N = ⌈log2 (ms + 2)⌉，用于枚举状态。这些变量在给定状态下的布尔值可以看作一个二进制数，q1 是最低有效位，qN 是最高有效位。我们用 round = k 作为表示由 qN … q1 编码的数字等于 k 的公式的缩写。
公式 ϕ(G) 由以下公式组成，这些公式描述了游戏设置和玩家 A 存在获胜策略的必要充分条件：
1.
游戏设置描述公式
-
(9.1)
：a ∧ pos1 ∧ col0(T0) ∧ colm + 1(T0) ∧ col1(I1) ∧ … ∧ colm(Im)
-
(9.2)
：C - BEL{1,2}(pos1 ∨ … ∨ posm)
-
(9.3)
：C - BEL′{1,2}(posi → ¬posj)，1 ≤ i ≠ j ≤ m
-
(9.4)
：C - BEL{1,2}(coli(T0) ∨ … ∨ coli(Ts + 1))
-
(9.5)
：C - BEL′{1,2}(coli(Tx) → ¬coli(Ty))
-
(9.6)
：C - BEL{1,2}(col0(T0) ∧ colm + 1(T0))
-
(9.7)
：C - BEL′{1,2}(¬posi → ((coli(Tx) → BEL(k, coli(Tx))) ∧ (¬coli(Tx) → BEL(k, ¬coli(Tx)))))
2.
游戏规则描述公式
-
(9.8)
：C - BEL′{1,2}((posm ∧ pk → BEL(k, pos1)) ∧ (pos1 ∧ pk → BEL(k, pos2)) ∧ … ∧ (posm - 1 ∧ pk → BEL(k, posm)))
-
(9.9)
：C - BEL′{1,2}((a → BEL(1, ¬a)) ∧ (¬a → BEL(2, a)))
-
(9.10)
：C - BEL′{1,2}(posi ∧ coli - 1(T ′) ∧ coli(T ′′) ∧ pk → BEL(k, ⋀{coli(T) : C(T ′, T, T ′′)}))，1 ≤ i ≤ m
-
(9.11)
：C - BEL′{1,2}(posn → BEL(k, ⋀{coln(T) : right(T) = white}))
-
(9.12)
：C - BEL′{1,2}(¬a ∧ posi ∧ coli(T ′′) ∧ coli - 1(t′) → ⋁{¬BEL(k, ¬coli(T)) : C(T ′, T, T ′′)})，1 ≤ i ≤ m
3.
获胜条件描述公式
-
(9.13)
：win ∧ C - BEL′{1,2}(win → (col1(Ts + 1) ∨ (a ∧ ¬BEL(1, ¬win)) ∨ (¬a ∧ BEL(2, win))))
-
(9.14)
：C - BEL′{1,2}((round = N) → BEL(k, ¬win))
为了根据游戏轮次枚举状态，我们还需要以下额外公式：
-
(9.15)
：∧Nj = 1 ¬qj ∧ C - BEL′{1,2}(INC0 ∧ ∧N - 1j = 1 INC1(j))
其中：
-
(9.16)
：INC0 ≡ ¬q1 → (BEL(1, q1) ∧ ∧Nj = 2 ((qj → BEL(1, qj)) ∧ (¬qj → BEL(1, ¬qj))))
-
(9.17)
：INC1(i) ≡ (¬qi + 1 ∧ ∧ij = 1 qj) → BEL(2, qi + 1 ∧ ∧ij = 1 ¬qj ∧ ∧Nj = i + 2 ((qj → BEL(2, qj)) ∧ (¬qj → BEL(2, ¬qj))))
通过以上分析，我们深入了解了 TeamLog 逻辑系统在不同约束条件下的复杂度情况，这对于相关领域的研究和应用具有重要的指导意义。例如，在多智能体系统中，我们可以根据问题的复杂度选择合适的算法和策略来解决问题。同时，对于逻辑系统复杂度的研究也有助于我们更好地理解逻辑推理的本质和难度。
团队逻辑（TeamLog）复杂度分析
4. 公式构造与游戏对应关系详细解析
为了更清晰地理解如何通过构造公式 $\phi(G)$ 来判断玩家 A 是否有获胜策略，我们对公式的各个部分进行详细解析。
4.1 游戏设置描述公式
- (9.1) $a \land pos1 \land col0(T0) \land colm + 1(T0) \land col1(I1) \land \cdots \land colm(Im)$ ：此公式描述了游戏的初始状态。$a$ 表明玩家 A 先行动，$pos1$ 表示当前要在第一列放置瓷砖，$col0(T0)$ 和 $colm + 1(T0)$ 确定了走廊的左右边界为 $T0$ 类型瓷砖，$col1(I1) \land \cdots \land colm(Im)$ 则给出了第一行初始瓷砖的类型。
- (9.2) $C - BEL_{{1,2}}(pos1 \lor \cdots \lor posm)$ ：共同信念表示玩家 1 和玩家 2 都知道瓷砖只能放置在第 1 列到第 $m$ 列中的某一列。
- (9.3) $C - BEL’_{{1,2}}(posi \to \neg posj), 1 \leq i \neq j \leq m$ ：同样基于共同信念，保证在同一时刻，瓷砖只能放置在某一列，不会同时放置在不同列。
- (9.4) $C - BEL_{{1,2}}(coli(T0) \lor \cdots \lor coli(Ts + 1))$ ：玩家们共同相信每一列放置的瓷砖类型必然是给定的 $T0$ 到 $Ts + 1$ 中的一种。
- (9.5) $C - BEL’_{{1,2}}(coli(Tx) \to \neg coli(Ty))$ ：确保每一列只能有一种瓷砖类型，避免出现同一列有多种不同类型瓷砖的矛盾情况。
- (9.6) $C - BEL_{{1,2}}(col0(T0) \land colm + 1(T0))$ ：玩家们共同认为走廊的第 0 列和第 $m + 1$ 列始终是 $T0$ 类型瓷砖，作为边界标记。
- (9.7) $C - BEL’_{{1,2}}(\neg posi \to ((coli(Tx) \to BEL(k, coli(Tx))) \land (\neg coli(Tx) \to BEL(k, \neg coli(Tx)))))$ ：当不在第 $i$ 列放置瓷砖时，玩家 $k$ 相信该列的瓷砖类型保持不变，体现了游戏过程中列状态的稳定性。
4.2 游戏规则描述公式
- (9.8) $C - BEL’_{{1,2}}((posm \land pk \to BEL(k, pos1)) \land (pos1 \land pk \to BEL(k, pos2)) \land \cdots \land (posm - 1 \land pk \to BEL(k, posm)))$ ：描述了瓷砖放置的顺序规则。当在第 $m$ 列放置瓷砖后，玩家 $k$ 相信下一次要在第 1 列放置；在第 1 列放置后，下一次在第 2 列，以此类推，保证了从左到右逐列放置的顺序。
- (9.9) $C - BEL’_{{1,2}}((a \to BEL(1, \neg a)) \land (\neg a \to BEL(2, a)))$ ：体现了玩家交替行动的规则。当玩家 A 行动后，玩家 1（即玩家 A）相信接下来轮到玩家 B 行动；当玩家 B 行动后，玩家 2（即玩家 B）相信接下来轮到玩家 A 行动。
- (9.10) $C - BEL’_{{1,2}}(posi \land coli - 1(T’) \land coli(T’‘) \land pk \to BEL(k, \bigwedge{coli(T) : C(T’, T, T’‘)}))$ ：规定了放置瓷砖时颜色匹配的规则。当在第 $i$ 列放置瓷砖时，玩家 $k$ 相信只能放置那些与左边和下边瓷砖颜色匹配的瓷砖类型。
- (9.11) $C - BEL’_{{1,2}}(posn \to BEL(k, \bigwedge{coln(T) : right(T) = white}))$ ：对于某些特殊情况，在第 $n$ 列放置瓷砖时，玩家 $k$ 相信只能放置右边颜色为白色的瓷砖。
- (9.12) $C - BEL’_{{1,2}}(\neg a \land posi \land coli(T’‘) \land coli - 1(t’) \to \bigvee{\neg BEL(k, \neg coli(T)) : C(T’, T, T’‘)})$ ：当轮到玩家 B 行动时，保证玩家 B 有合法的放置选择，即存在至少一种与相邻瓷砖颜色匹配的瓷砖类型可以放置。
4.3 获胜条件描述公式
- (9.13) $win \land C - BEL’_{{1,2}}(win \to (col1(Ts + 1) \lor (a \land \neg BEL(1, \neg win)) \lor (\neg a \land BEL(2, win))))$ ：定义了获胜的条件。如果当前是获胜状态，那么要么第一列放置了 $Ts + 1$ 类型的瓷砖，要么在玩家 A 行动时玩家 A 不相信不是获胜状态，要么在玩家 B 行动时玩家 B 相信是获胜状态。
- (9.14) $C - BEL’_{{1,2}}((round = N) \to BEL(k, \neg win))$ ：当游戏进行到第 $N$ 轮后，玩家 $k$ 相信此时不是获胜状态，避免游戏无限进行下去。
4.4 状态枚举公式
-
(9.15) $\bigwedge_{j = 1}^{N} \neg qj \land C - BEL’
{{1,2}}(INC0 \land \bigwedge
{j = 1}^{N - 1} INC1(j))$
：用于根据游戏轮次枚举状态。通过 $q1$ 到 $qN$ 这些变量的布尔值组合来表示不同的轮次，$INC0$ 和 $INC1(j)$ 则规定了轮次递增的规则。
- (9.16) $INC0 \equiv \neg q1 \to (BEL(1, q1) \land \bigwedge_{j = 2}^{N} ((qj \to BEL(1, qj)) \land (\neg qj \to BEL(1, \neg qj))))$ ：当 $q1$ 为假时，玩家 1 相信下一轮 $q1$ 变为真，并且其他 $qj$ 的值保持不变。
- (9.17) $INC1(i) \equiv (\neg qi + 1 \land \bigwedge_{j = 1}^{i} qj) \to BEL(2, qi + 1 \land \bigwedge_{j = 1}^{i} \neg qj \land \bigwedge_{j = i + 2}^{N} ((qj \to BEL(2, qj)) \land (\neg qj \to BEL(2, \neg qj))))$ ：当满足特定的 $q$ 变量组合条件时，玩家 2 相信轮次会按照规则递增。
5. 复杂度总结与实际应用意义
| 逻辑系统 | 约束条件 | 复杂度 |
|---|---|---|
| TEAMLOGind | 命题原子数量受限为 $l$，模态深度受限为 $k$ | 线性时间 |
| TeamLog | 无额外约束 | EXPTIME 完全 |
| TeamLog | 模态深度受限为 2 | EXPTIME 完全 |
从复杂度的总结中可以看出，不同的约束条件对逻辑系统的复杂度有显著影响。对于 TEAMLOGind，通过同时限制命题原子数量和模态深度，可将可满足性问题的复杂度降低到线性时间，这在实际应用中意味着可以更高效地解决相关问题。而对于 TeamLog，即使限制模态深度为 2，复杂度仍然是 EXPTIME 完全，说明该逻辑系统在处理包含群体概念（如共同信念和共同意图）时具有较高的难度。
在实际应用中，例如多智能体系统，我们可以根据问题的特点和需求来选择合适的逻辑系统和算法。如果问题可以通过限制命题原子数量和模态深度来简化，那么可以使用 TEAMLOGind 并采用线性时间算法来解决。如果需要处理复杂的群体概念，如共同信念和共同意图，就需要考虑使用 TeamLog，但要意识到问题的复杂度较高，可能需要更强大的计算资源和优化算法。
此外，对逻辑系统复杂度的研究还可以帮助我们理解逻辑推理的本质和难度。通过分析不同逻辑系统在不同约束条件下的复杂度变化，我们可以更深入地了解逻辑推理过程中哪些因素会导致复杂度的增加，从而为设计更高效的逻辑推理算法提供理论基础。
综上所述，对 TeamLog 复杂度的研究不仅有助于解决具体的逻辑问题，还对相关领域的理论发展和实际应用具有重要的推动作用。
graph LR
A[问题特点] --> B{是否可限制命题原子和模态深度}
B -- 是 --> C[使用 TEAMLOGind 和线性时间算法]
B -- 否 --> D{是否需处理群体概念}
D -- 是 --> E[使用 TeamLog 并考虑优化算法]
D -- 否 --> F[选择其他合适逻辑系统]
这个流程图展示了在实际应用中根据问题特点选择合适逻辑系统和算法的决策过程，为实际问题的解决提供了清晰的指导。
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