25、开关代数：原理与定理详解

开关代数：原理与定理详解

1. 开关代数简介

在逻辑领域，我们常常需要对命题进行真假判断，并将它们组合成新的命题，进而确定新命题的真假。例如，若已知“未学习该材料的人要么是失败者，要么不是书呆子”以及“没有计算机设计师是失败者”，我们就能回答诸如“如果你是个书呆子计算机设计师，那么你是否已经学习过该材料”这类问题。

1938 年，贝尔实验室的研究员克劳德·E·香农展示了如何运用布尔代数来分析和描述由继电器构建的电路行为，继电器在当时是最常用的数字逻辑元件。在香农的开关代数中，继电器触点的开合状态由变量 X 表示，X 只能取 0 或 1 两个值。在如今的逻辑技术中，这两个值对应着多种物理状态，如电压的高低、灯的开关、电容的充放电、保险丝的通断等。

2. 开关代数的公理

2.1 变量与逻辑约定

在开关代数里，我们用符号变量（如 X）来表示逻辑信号的状态。逻辑信号有两种可能状态，具体取决于技术，比如低或高、关或开等。我们规定 X 在其中一种状态下取值为“0”，在另一种状态下取值为“1”。

以 CMOS 和 TTL 逻辑电路为例，正逻辑约定将低电压与“0”关联，高电压与“1”关联；负逻辑约定则相反，即 0 表示高电压，1 表示低电压。不过，正逻辑或负逻辑的选择并不影响我们对电路行为进行一致的代数描述，它仅影响从物理到代数抽象的细节，这一点我们在后续讨论“对偶性”时会详细说明。目前，我们可以先忽略逻辑电路的物理现实，假定它们直接对逻辑符号 0 和 1 进行操作。

2.2 公理内容

数学系统的公理是一组基本定义，我们假定这些定义为真，系统的其他信息都可由此推导得出。开关代数的前两条