网络模型与组合电路知识详解
1. 网络模型中的匹配问题
1.1 问题描述
考虑一个有向二分图 (G),其顶点集可划分为不相交的 (V) 和 (W) 两部分,边从 (V) 中的顶点指向 (W) 中的顶点。设 (M_W) 为 (W) 中顶点的最大度,(m_V) 为 (V) 中顶点的最小度。要证明当 (0 < M_W \leq m_V) 时,图 (G) 存在完全匹配。
1.2 解决思路
根据霍尔婚姻定理,有向二分图 (G) 存在完全匹配的充要条件是对于所有 (S \subseteq V),都有 (|S| \leq |R(S)|)。所以我们的目标是证明给定条件 (M_W \leq m_V) 能推出 (|S| \leq |R(S)|)。
1.3 具体求解过程
- 举例说明 :我们先看一个满足 (M_W \leq m_V) 的图 (G),不妨设 (M_W = 2),(m_V = 3)。考虑 (V) 的一个子集 (S = {1, 3}) 以及与 (S) 中顶点关联的边。
- 由于 (V) 中顶点的最小度为 (3),对于 (V) 的任意子集 (S),(S) 中每个顶点至少关联 (3) 条边。一般地,与 (S) 中顶点关联的边至少有 (3|S| = m_V|S|) 条。在这个例子中,(3|S| = 6),但实际上与 (S) 中顶点关联的边有 (7) 条。所以 (m_V|S|) 是与 (S) 中顶点关联边数的下界。
- 因为 (W) 中顶点的最大度为 (2),对于 (V) 的任意子集 (S),(R(S)) 中每个顶点至多关联