TechFlow的博客

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天是算法和数据结构专题第25篇文章，我们继续博弈论专题。在上一篇文章当中我们了解了最简单的巴什博奕，今天我们来看看另一个经典的博弈模型——威佐夫博弈。博弈论和机器学习有些类似，数学家们针对场景进行建模，设计出了几个经典模型。然后我们在面临具体问题的时候，对问题进行深入分析，寻找最合适的模型应用来解决它。石子问题我们来看一道经典的例题，有两堆石子，有两个绝顶聪明的人在玩一个游戏。每次每个人可以从其中一堆石子当中取走任意数量的石子，或者是

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天是概率统计专题的第六篇，我们来看看方差相关的概念。方差的定义方差在我们的日常生活当中非常常见，它主要是为了提供样本离群程度的描述。举个简单的例子，我们去买一包薯片，一般来说一袋薯片当中的数量是固定的。我们假设平均每袋当中都有50片薯片好了，即使是机器灌装，也不可能做到每一袋都刚好是50片，或多或少都会有些误差。而均值则无法衡量这种误差。如果现在有两个薯片品牌，它们的口味都差不多，平均每袋也都是50片。但是其中A品牌的薯片有一半是80

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天是概率统计专题的第5篇文章，这篇文章的出现意味着高等数学专题我们已经告一段落了。高数当中剩下的内容还有很多，比如多重积分、微分方程求解等等内容。但对于算法领域来说，基本的微积分已经基本足够了，所以我们就不再继续往下延伸，如果以后有相关的内容涉及，我们再来开文章单讲。我们这篇文章的内容关于统计学中的泊松分布。举个栗子泊松分布在概率统计当中非常重要，可以很方便地用来计算一些比较难以计算的概率。很多书上会说，泊松分布的本质还是二项分布，泊

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天是高等数学的第14篇文章，我们一起来看看定积分的换元法和分部积分法。我们之前在不定积分的内容当中曾经介绍过换元法和分部积分法这两种求解不定积分的方法，今天我们来探索将这两种方法应用在定积分上。有一点需要注意，虽然不定积分和定积分只有一字之差，但是在数学上其实它们是两个完全不同的概念。不定积分求解的是函数的原函数，而定积分则是求解的...

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天是高等数学专题的第13篇文章，我们来看看定积分究竟应该怎么计算。定积分的实际意义通过之前的文章，我们基本上熟悉了定积分这个概念和它的一些简单性质，今天终于到了正题，我们要试着来算一算这个积分了。我们先来回忆一下对定积分的直观感受，它可以代表一段曲形面积，比如：如果我们把上图当中的f(x)看成是速度函数，x轴看成是时间，...

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天是高等数学专题的第12篇，我们继续来看定积分。之前在讲微分求导内容的时候，介绍过一系列微分中值定理的推导。既然有微分中值定理，那么自然也有积分中值定理，我们下面就来看看积分中值定理的定义。极值定理极值定理也叫最大最小值定理，它的含义非常直观：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续的函数，必然存在最大值和最小值，并且取到最大值和...

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天是高等数学第11篇文章，我们来看看定积分的相关内容。对于很多人来说定积分的内容其实早在高中就已经接触过了，比如在高中物理当中，我们经常使用一种叫做”微元法“的方法来解决一些物理问题。但实际上所谓的”微元法“本质上来说其实就是一种微积分计算方法。我们来看两个简单的例子。微分与积分的例子第一个例子是扇形的面积计算，先别急着笑，我知...

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天是高等数学专题的第10篇文章。今天我们来看另一个解不定积分的方法——分部积分法，这个方法非常常用，甚至比换元法还要常用。在我仅存不多的高数的记忆里，这是必考的内容之一。虽然这个内容非常重要，但是却并不难，推导也很简单，所以这篇文章几乎没有难度，也没什么公式推导。原理和推导分部积分法的原理非常简单，其实也是脱胎于导数公式的推导...

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天是高等数学专题的第九篇文章，我们继续来看不定积分。在上篇文章当中我们回顾了不定积分的定义以及简单的性质，我们可以简单地认为不定积分就是求导微分的逆操作。我们要做的是根据现有的导函数，逆推出求导之前的原函数。除了基本定义之外，我们还介绍了一些简单的性质和常用积分的积分表。但是显然根据已有的性质对于许多复杂的函数来说求解积分仍然非常...

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天是高等数学专题的第8篇文章，今天的内容是不定积分。我之前的高数老师曾经说过，高等数学就是大半本的微积分加上一些数列和极限的知识。而微积分当中，积分相关又占据了大半江山。微积分之所以重要并不是因为它的比重大、容量多，而是因为它常用。几乎所有理工科的课本上都有微积分的公式，原因也很简单，当年这些科学家在研究未知事物或者是进行计算的时候...

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天是周四高等数学专题的第7篇文章。之前的文章和大家聊了许多数学上的理论，今天和大家聊点有用的东西。我们都知道，工业上的很多问题经过抽象和建模之后，本质还是数学问题。而说到数学问题就离不开方程，在数学上我们可以用各种推算、公式，但是有没有想过在计算机领域我们如何解一个比较复杂的方程？如果之前没有想过，那你可能得想一想，因为以后很有...

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天的文章我们来讨论大名鼎鼎的泰勒公式，泰勒公式真的非常有名，我相信上过高数课的一定都记得它的大名。即使你翘掉了所有的课，也一定会在考前重点里见过。我对它的第一映像就是比较难，而且感觉没有太多意思，就是一个近似的函数而已。最近重温了一下有了一些新的心得，希望尽我所能讲解清楚。泰勒公式的用途在看具体的公式和证明之前，我们先来了解...

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天和大家一起复习的是洛必达法则，这个法则非常重要，在许多问题的解法当中都有出现。虽然时隔多年，许多知识点都已经还给老师了，但是我仍然还记得当年大一的时候，高数老师在讲台上慷慨激昂的样子。上篇文章当中我们回顾了微分中值定理，今天要说的洛必达法则其实是微分中值定理一个经典的应用。所以有遗忘或者是新关注的同学可以点下下方的链接回顾一下上篇...

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天和大家回顾一下高数当中的微分中值定理，据说是很多高数公式的基础。由于本人才疏学浅，所以对于这点没有太深的认识。但是提出中值定理的几个数学家倒是如雷贯耳，前段时间抽空研究了一下，发现很有意思，完全没有想象中那么枯燥。所以今天的文章和大家聊聊这个话题，我会跳过一些无关紧要或者意义不大的证明部分，尽量讲得浅显有趣一些。费马引理首先...

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注上一篇文章我们复习了函数求导的定义和一些常见函数的导数，今天这篇文章我们回顾一下复杂函数的求导方法。先强调一下，今天的文章很重要，想要看懂机器学习各种公式推导，想要能够自己推一推各种公式，函数求导是基础中的基础，在算法这个领域，它比积分要重要得多。我们先来看第一种情况：多个函数进行四则运算的导数。函数四则运算求导法则我们假设u...

本文始发于个人公众号：TechFlow导数是微积分也是高数当中很重要的一个部分，不过很遗憾的是，和导数相关的部分很多同学都是高中的时候学的。经过了这么多年，可能都差不多还给老师了。所以今天的文章就一起来温习一下导数的相关知识，捡一捡之前忘记的内容。函数切线关于导数，最经典的解释可能就是切线模型了。以前高中的时候，经常对二次函数求切线，后来学了微积分之后明白了，所谓的求切线其实就是求导。...

今天和大家聊一个非常重要，在机器学习领域也广泛使用的一个概念——矩阵的特征值与特征向量。我们先来看它的定义，定义本身很简单，假设我们有一个n阶的矩阵A以及一个实数λ\lambdaλ，使得我们可以找到一个非零向量x，满足：Ax=λxAx=\lambda xAx=λx如果能够找到的话，我们就称λ\lambdaλ是矩阵A的特征值，非零向量x是矩阵A的特征向量。几何意义光从上面的式子其实我们...

本文始发于个人公众号：TechFlow今天的文章聊聊高等数学当中的极限，我们跳过极限定义以及一些常用极限计算的部分。我想对于一些比较常用的函数以及数列的极限，大家应该都非常熟悉。大部分比较简单的函数或者数列，我们可以很直观地看出来它们的极限。比如1n\frac{1}{n}n1​，当n趋向于无穷大的时候，1n\frac{1}{n}n1​的极限是0，再比如当n趋向于无穷大的时候，n2n^2n2...

本文始发于个人公众号：TechFlow今天这篇文章和大家聊聊期望和方差。期望期望这个概念我们很早就在课本里接触了，维基百科的定义是：它表示的是一个随机变量的值在每次实验当中可能出现的结果乘上结果概率的总和。换句话说，期望值衡量的是多次实验下，所有可能得到的状态的平均结果。我们举两个简单的例子，第一个例子是掷骰子。我们都知道一个骰子有6个面，分别是1，2，3，4，5，6。我们每次...

本文始发于个人公众号：TechFlow向量内积这个基本上是中学当中数学课本上的概念，两个向量的内积非常简单，我们直接看公式回顾一下：X⋅Y=∑i=1nxi∗yiX \cdot Y = \sum_{i=1}^n x_i*y_iX⋅Y=i=1∑n​xi​∗yi​这里X和Y都是n维的向量，两个向量能够计算内积的前提是两个向量的维度一样。从上面公式可以看出来，两个向量的内积就等于两个向量对应各...

本文始发于个人公众号：TechFlow这一讲当中我们来探讨三种经典的概率分布，分别是伯努利分布、二项分布以及多项分布。在我们正式开始之前，我们先来明确一个概念，我们这里说的分布究竟是什么？无论是在理论还是实际的实验当中，一个事件都有可能有若干个结果。每一个结果可能出现也可能不出现，对于每个事件而言出现的可能性就是概率。而分布，就是衡量一个概率有多大。伯努利分布明确了分布的概念之后，我...

这一篇文章和大家聊聊向量。向量与平面向量这个概念我们在高中就接触到了，它既指一个点在空间中的坐标，也表示一个有向线段，如果我们加入复数概念的话，它还能表示一个数。在线性代数当中，向量就是指的n个有次序的数a1,a2,⋯ ,ana_1, a_2, \cdots, a_na1​,a2​,⋯,an​组成的数组。向量可以写成一行，也可以写成一列。写成一列的称为列向量，例如：a=[a1a2⋮an...

本文始发于公众号：TechFlow矩阵的初等变换这个概念可能在很多人听来有些陌生，但其实我们早在初中的解多元方程组的时候就用过它。只不过在课本当中，这种方法叫做消元法。我们先来看一个课本里的例子：{2x1−x2−x3+x4=2,(1)x1+x2−2x3+x4=4,(2)4x1−6x2+2x3−2x4=4,(3)3x1+6x2−9x3+7x4=9.(4)\begin{cases}2x_1-x...

本文首发于公众号：TechFlow在概率论的课本上有一个经典的问题，一直困扰我很久。有很多次我以为我想明白了，过了一段时间却又会糊涂。这个问题学过概率论的同学想必都知道，就是著名的三扇门问题。说是之前在美国有一个著名的综艺节目，这个节目里有三扇关闭着的门。其中有两扇的后面是山羊，有一扇则放着一辆豪车。主持人会让嘉宾做出选择，嘉宾做出选择之后，主持人会打开其中错误的一扇门，询问嘉宾：伙计，你有一...

本文始发于个人公众号： TechFlow上一讲当中我们复习了行列式的内容，行列式只是开胃小菜，线性代数的大头还是矩阵。矩阵的定义很简单，就是若干个数按照顺序排列在一起的数表。比如m * n个数，排成一个m * n的数表，就称为一个m * n的矩阵。矩阵运算的相关性质不多，主要的有这么几点：矩阵的加法有结合律和交换律矩阵的乘法没有交换律m * n的矩阵乘上n * k的矩阵的结果是一个...