矩阵初等变换与秩：解密线性方程组
本文深入探讨矩阵的初等变换，解释如何通过消元法解线性方程组。介绍了矩阵的秩，讨论了矩阵秩与线性方程组解的关系：R(A) < R(B)时无解，R(A) = R(B) = n时唯一解，R(A) = R(B) < n时有无数解。同时阐述了齐次线性方程组的特性，指出R(A) = n时不存在非零解，R(A) < n时存在无数组非零解。
本文始发于公众号：TechFlow
矩阵的初等变换这个概念可能在很多人听来有些陌生，但其实我们早在初中的解多元方程组的时候就用过它。只不过在课本当中，这种方法叫做消元法。我们先来看一个课本里的例子：
{ 2x1−x2−x3+x4=2,(1)x1+x2−2x3+x4=4,(2)4x1−6x2+2x3−2x4=4,(3)3x1+6x2−9x3+7x4=9.(4) \begin{cases} 2x_1-x_2-x_3+x_4=2, & {(1)} \\ x_1+x_2-2x_3+x_4=4, & {(2)}\\ 4x_1-6x_2+2x_3-2x_4=4, & {(3)}\\ 3x_1+6x_2-9x_3+7x_4=9. & {(4)} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧2x1−x2−x3+x4=2,x1+x2−2x3+x4=4,4x1−6x2+2x3−2x4=4,3x1+6x2−9x3+7x4=9.(1)(2)(3)(4)
假设我们要解这个方程，怎么做呢？
首先，我们把(1)式加到(2)式，把(4)式加到(3)式，把(1)式乘6加到(4)式可以得到：
{ 2x1−x2−x3+x4=2,(1)3x1−3x3+2x4=6,(2)7x1−7x3+5x4=13,(3)15x1−15x3+13x4=21.(4) \begin{cases} 2x_1-x_2-x_3+x_4&=2, & {(1)} \\ \quad 3x_1-3x_3+2x_4&=6, & {(2)}\\ \quad 7x_1-7x_3+5x_4&=13, & {(3)}\\ 15x_1-15x_3+13x_4&=21. & {(4)} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧2x1−x2−x3+x43x1−3x3+2x47x1−7x3+5x415x1−15x3+13x4=2,=6,=13,=21.(1)(2)(3)(4)
我们再把(4)式减去(2)式乘5，可以解出x4=−3x_4=-3x4=−3：
{ 2x1−x2−x3+x4=2,(1)3x1−3x3+2x4=6,(2)7x1−7x3+5x4=13,(3)3x4=−9.(4) \begin{cases} 2x_1-x_2-x_3+x_4&=2, & {(1)} \\ \quad 3x_1-3x_3+2x_4&=6, & {(2)}\\ \quad 7x_1-7x_3+5x_4&=13, & {(3)}\\ \qquad\qquad\qquad3x_4&=-9. & {(4)} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧2x1−x2−x3+x43x1−3x3+2x47x1−7x3+5x43x4=2,=6,=13,=−9.(1)(2)(3)(4)
我们把x4=−3x_4=-3x4=−3带入，可以解出x1,x2,x3x_1, x_2,x_3x1,x2,x3。
{ x1=x3+4x2=x3+3x4=−3 \begin{cases} x_1=x_3+4 \\ x_2=x_3+3\\ x_4=-3\\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1=x3+4x2=x3+3x4=−3
因为消元之后，方程组的数量少于变量的数量，我们无法解出所有的变量。其中的x3x_3x3可以取任何值。
上面这个计算的方法我们都非常熟悉，如果我们用一个矩阵来表示所有的次数，那么这个矩阵D可以写成：
D=[2−1−11211−2144−62−2436−979] D=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 & -1 & 1 & 2\\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4\\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4\\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9 \end{matrix} \right] D=⎣⎢⎢⎡2143−11−66−1−22−911−272449
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