高等数学——讲透求极限两大方法，夹逼法与换元法

本文始发于个人公众号：TechFlow

今天的文章聊聊高等数学当中的极限，我们跳过极限定义以及一些常用极限计算的部分。我想对于一些比较常用的函数以及数列的极限，大家应该都非常熟悉。

大部分比较简单的函数或者数列，我们可以很直观地看出来它们的极限。比如$\frac{1}{n}$，当n趋向于无穷大的时候，$\frac{1}{n}$的极限是0，再比如当n趋向于无穷大的时候，$n^2$的极限也是无穷大，等等。但是对于一些相对比较复杂的函数，我们一时之间可能很难直观地看出极限，因此需要比较方便计算极限的方法，今天的文章介绍的正是这样的方法——夹逼法和换元法。

夹逼法

夹逼法在数学领域其实非常常用，在中学的竞赛当中经常出现。夹逼法的原理非常简单，对于某一个函数f(x)，我们知道它的表达式，但是很难确定它的范围。我们可以先找到另外两个范围比较容易确定的函数g(x)和h(x)，然后证明:$g(x)\le f(x)\le h(x)$。通过h(x)和g(x)的范围来夹逼f(x)的范围。

说白了，就是直接求解不方便的函数，我们通过用其他容易计算的函数来替代的方法来间接求解，类似于“曲线救国”。

明白了夹逼法的概念之后，我们再来看一下它在数列极限当中的应用。当下存在数列{ xn}\{x_n\}{ xn​}我们需要确定它的极限，我们找到了另外两个数列{ yn}\{y_n\}{ yn​}和{ zn}\{z_n\}{ zn​}。如果它们满足以下两个条件：

1. $\exists n_0\in N$，当$n>n_0$时，有$y_n\le x_n\le z_n$。
2. $\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=a,\underset{n\to +\infty }{\lim }{z}_n=a$

那么，数列{ xn}\{x_n\}{ xn​}的极限存在，并且$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=a$。从直觉上来看，上面的式子应该非常直观，但是我们还是试着从数学的角度来证明一下，顺便回顾一下极限的定义。

证明过程如下：

根据极限的定义，对于数列{ xn}\{x_n\}{ xn​}而言，对于任意$ϵ$都存在$n_0>0$，使得对于任意：$n>n_0$，都有$|x_n-a|<ϵ$。那么就称数列{ xn}\{x_n\}{ xn​}的极限是a。

由于数列{ yn}\{y_n\}{ yn​}的极限是a，所以存在$n$