高等数学——求解不定积分的经典换元法

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今天是高等数学专题的第九篇文章，我们继续来看不定积分。

在上篇文章当中我们回顾了不定积分的定义以及简单的性质，我们可以简单地认为不定积分就是求导微分的逆操作。我们要做的是根据现有的导函数，逆推出求导之前的原函数。

除了基本定义之外，我们还介绍了一些简单的性质和常用积分的积分表。但是显然根据已有的性质对于许多复杂的函数来说求解积分仍然非常困难，所以本篇文章的重点是继续介绍不定积分的运算性质，从而简化我们一些复杂函数的计算过程。甚至是完成一些原本不能完成的计算。今天介绍的是最常用的换元积分法。

换元法是数学当中经常用到的方法，无论是求导计算还是一些复杂函数的运算，我们经常会使用换元法来降低问题的难度。同样，在不定积分的求解当中，我们一样可以使用换元法来进行。通常换元法分成两类，为什么会有两类？这两类有什么不同？这些问题可以先放一放，等看完文章就清楚了。

第一类换元法

第一类换元法比较容易理解，其实是链式求导法则的逆运算。

比如，我们有函数$F^{\prime }(u)=f(u)$，显然函数F(u)是f(u)的原函数，所以：$\int f(u)du=F(u)+C$

如果u是中间变量，并且$u=\varphi (x)$，我们对$F(u)$求导，根据复合函数的链式求导法则，可以得到：

$$d[F(u)]=d[F(\varphi (x)]=f[\varphi (x)]{\varphi }^{\prime }(x)dx$$

我们把上面这个式子用积分反过来，就可以得到不定积分的换元公式：

$$\int f[\varphi (x)]{\varphi }^{\prime }(x)dx=F[\varphi (x)]+C=[\int f(u)du{]}_{u=\varphi (x)}$$

我们通过简单的推导获得了公式，那么这个公式怎么用呢？初看起来总有些难以下手的感觉，这是正常的，我们需要继续来化简。

假设我们要求$\int g(x)dx$，直接求解比较麻烦，如果我们可以把g(x)想办法转化为$f[\varphi (x)]{\varphi }^{\prime }(x)$的形式，那么我们就可以套用公式得到：

$$\int g(x)dx=\int f[\varphi (x)]{\varphi }^{\prime }(x)dx=[\int f(u)du{]}_{u=\varphi (x)}$$

这个时候函数g(x)的积分就转化成了函数f(u)的积分，如果能求到f(u)的原函数，那么我们也就得到了g(x)的原函数。一般来说经过了换元化简之后得到的函数f(u)都会比原函数g(x)简单得多，这也是换元法的意义。

光说不练假把式，我们来看一个例子：

$$\int \frac{1}{3+2x}dx$$

由于分母上的x有一个系数，导致我们不能直接使用积分公式。这个时候就需要换元，不难想到，我们可以用u = 3 + 2x。由于我们要凑出f(u)du，我们发现u对x的导数为2，所以我们可以将原式变形：

$$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{3+2x}dx& =\int \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3+2x}d(3+2x)\\ & =\int \frac{1}{2}\cdot u\\ & \end{array}$$