21、投票规则与操纵问题解析

投票规则与操纵问题解析

1. 几种特殊的社会选择函数（SCF）

在社会选择理论中，有几种特殊的社会选择函数值得关注。
- 未覆盖集（Uncovered set） ：它是满足弱扩张版本的最小多数决社会选择函数。未覆盖集恰好由那些能通过长度至多为 2 的多数规则路径到达其他所有方案的方案组成。基于这一特性，计算未覆盖集可转化为矩阵乘法，几乎能以线性时间完成。
- 班克斯集（Banks set） ：是满足强保留性（一种弱扩张的弱化形式）的最小多数决社会选择函数。与其他社会选择函数不同，除非 P 等于 NP，否则无法在多项式时间内计算班克斯集。判断一个方案是否包含在班克斯集中是 NP 完全问题，但可以在线性时间内找到班克斯集中的一些方案（及子集）。
- 最小覆盖集（minimal covering set）和两党集（bipartisan set） ：它们通过一种收缩变体进行公理化，该变体由 WARP 蕴含。两党集可通过单个线性规划计算，而最小覆盖集需要一个稍复杂但仍为多项式时间的算法。这两个集合除了具有高效的可计算性外，还满足许多其他理想的属性。

2. 投票规则的定义与属性

投票规则是一个从偏好组合到可行方案集的函数。社会选择函数也可视为投票规则，但两者存在区别。从技术角度看，之前定义的社会选择函数使用可变可行集进行公理化，以挽救一定程度的集体理性；部分社会选择函数（如顶部循环）因区分度不足，难以被视为投票规则。

投票规则通常有一些重要属性：
- 决断性（resoluteness）