8、投票与机制设计：范围投票与设施选址解析

投票与机制设计：范围投票与设施选址解析

1. 范围投票（Range Voting）

范围投票允许选民表达对候选人的严格基数偏好，选民的效用函数 (U_i) 被归一化，使得 (\min_{a\in A} U_i(a) = 0) 且 (\max_{a\in A} U_i(a) = 1)，机制会选择使所有选民效用总和最大化的候选人，即总是返回 (c^*(U))。

然而，即使没有吉伯德 - 萨特思韦特定理（G - S 定理），也能明显看出范围投票并非如实的。处于少数派地位的选民总是可以通过报告更极端的偏好来获益。对于任何确定性规则，试图近似范围投票的最优结果都是徒劳的。

命题 5.4 ：对于任意 (n \geq 2) 和 (m \geq 3)，任何确定性策略证明的投票规则 (f) 的福利近似比 (\rho \leq \frac{1}{n})。
- 证明思路 ：设 (\epsilon > 0) 为任意小的常数，证明不存在 (f) 的近似比优于 (\frac{1}{n} + \epsilon)。根据 G - S 定理，唯一的策略证明投票规则是二元规则（范围大小为 2 的规则）和独裁规则。
- 二元规则情况 ：若 (f) 是二元规则，其范围不包含某些 (c \in A)。对于所有选民都赋予 (U_i(c) = 1) 且 (U_i(c’) < \epsilon)（(c’ \neq c)）的偏好配置，有 (SW(f(U)) < \epsilon n) 且 (SW^ = SW(c) = n)，因此 (\rho < \epsilon)。