21、投票规则与操纵问题深度解析

投票规则与操纵问题深度解析

1. 常见的社会选择函数（SCF）

在社会选择理论中，有几种常见的社会选择函数，它们各自具有独特的性质和计算复杂度。
| 社会选择函数 | 性质 | 计算复杂度 |
| — | — | — |
| 未覆盖集（Uncovered set） | 满足弱扩展的最小多数主义SCF，由那些能通过长度至多为2的多数规则路径到达其他所有替代方案的选项组成 | 可通过矩阵乘法计算，几乎为线性时间 |
| 班克斯集（Banks set） | 满足强保留性（强扩展性的弱化）的最小多数主义SCF | 除非P等于NP，否则无法在多项式时间内计算；判断一个替代方案是否在班克斯集中是NP完全问题，但部分替代方案可在线性时间内找到 |
| 最小覆盖集（Minimal covering set） | 使用WARP隐含的收缩变体公理化 | 需稍复杂的多项式时间算法 |
| 两党集（Bipartisan set） | 使用WARP隐含的收缩变体公理化 | 可通过单个线性规划计算 |

从这个表格中，我们可以清晰地看到不同社会选择函数在性质和计算复杂度上的差异。例如，未覆盖集在计算上相对高效，而班克斯集的计算则较为困难。

2. 投票规则的定义与性质

投票规则是一个函数 ( f : R(U)^n → F(U) )，虽然每个SCF都可视为投票规则，但两者存在区别。从技术角度看，之前定义的SCF使用可变可行集公理化以保留一定程度的集体理性；部分SCF（如顶循环）因区分度不足，难以被视为投票规则。

投票规则在实践中常需满足一些重要性质：
- 决断性（Resolutene