4、投票规则中的策略性与操纵问题解析

投票规则中的策略性与操纵问题解析

1. 操纵频率的衡量

虽然吉伯德 - 萨特思韦特定理（G - S 定理）表明，对于每一种投票规则，在某些偏好组合下都存在操纵的可能性，但也许有些规则的操纵情况极为罕见，以至于我们无需过分担忧。例如，在((m!)^n)种偏好组合中，若只有一两种“危险”组合，那我们或许可以接受这种“近乎策略防卫”的规则。

不过，实际上在每一种合理的投票规则中，操纵情况都更为普遍。为了衡量操纵的频率，我们引入了“无偏文化”（impartial culture）这一概念，在这种分布下，((m!)^n)种偏好组合中的每一种被抽样的概率相同。

我们将选民(i)在规则(f)下的操纵能力定义为：
[M_i(f) = \frac{1}{(m!)^n} \sum_{L\in L(A)^n} [\exists L’ i \text{ s.t. } f(L {-i}, L’_i) \succ_i f(L)]]
即选民(i)在随机偏好组合（按照无偏文化均匀抽样）中有某种有益操纵的概率。

G - S 定理的负面部分可以重新表述为：对于确定性投票规则(f)，要么(f)是范围独裁的，要么是二元的，要么(\sum_{i\in N} M_i(f) > 0)。

为了进一步分析，我们定义了投票规则之间的距离度量：
- 接近度（Closeness） ：投票规则(f)和(g)的接近度定义为(C(f, g) = \frac{1}{(m!)^n} \sum_{L\in L(A)^n} [f(L) = g(L)])，即它们在输入偏好组合上达成一致的比例。
-