6、投票中的真实性恢复与规则分析

投票中的真实性恢复与规则分析

1. 投票操纵问题的界定

投票操纵问题的定义比简单的操纵定义更为严格。关键问题不在于操纵者能否确保更偏好的候选人获胜，而在于能否保证特定候选人获胜。吉巴德 - 萨特思韦特（G - S）定理指出，在某些投票概况 (L) 下，存在选民能够操纵结果，但在给定 (L)、选民 (i) 和特定候选人 (p) 的情况下，我们并不清楚这是否成立。

对于一些投票规则，判断是否存在操纵相对容易。以多数规则 (f_{PL}) 为例，只需让选民 (i) 将候选人 (p) 排在 (L_{i}^ ) 的首位，其余候选人任意排序。当且仅当 (f(L_{-i}, L_{i}^ ) = p) 时，存在操纵。因此，多数规则下的操纵问题 (MANIPULATION_{f_{PL}}) 可以在多项式时间内解决，许多其他投票规则也有类似的贪心算法。

然而，也存在一些投票规则，其操纵问题是 NP 难的。例如，Kemeny 规则计算给定投票概况的结果已经是 NP 难的，这类规则显然难以操纵，但这并非有趣的结果。有定理表明，存在投票规则 (f)，满足：I）(f(L)) 可以在多项式时间内计算；II）(MANIPULATION_{f}) 是 NP 完全问题。

2. 少量候选人和联盟操纵

对于固定数量的候选人 (m)，存在一个简单的多项式时间算法来计算操纵，即尝试所有 (m!) 种可能的选票。联盟操纵问题 (C - MANIPULATION_{f}) 与单个选民操纵问题 (MANIPULATION_{f}) 类似，不同之处在于输入是一组操纵者 (I) 而非单个操纵者，并且输入还包括每个选民的权重 ((w_{i})_{i\in I\cup