69.x的平方根 python

题目

题目描述

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

提示：

0 <= x <= $2^{31}$ - 1

题解

思路分析

为了求解这个问题，可以采用二分查找（Binary Search）的方法。这是因为对于任意非负整数 x，其平方根必定位于 [0, x] 范围内（当 x >= 1 时），或者更精确地说，位于 [0, min(x, 46340)]（因为 ( \sqrt{2^{31}-1} \approx 46340 )）。我们可以通过不断缩小搜索范围来高效地找到最接近但不超过 x 的平方根的那个整数。

算法步骤

1. 初始化边界：设定左右边界 left 和 right，其中 left = 0，right = min(x, 46340)。
2. 二分查找：
   • 计算中间值 mid = (left + right) // 2。
   • 如果 mid * mid == x，则直接返回 mid。
   • 如果 mid * mid < x，说明 mid 可能是结果之一，更新 left = mid + 1。
   • 如果 mid * mid > x，则更新 right = mid - 1。
3. 返回结果：循环结束后，right 将是最接近但不超过 x 的平方根的那个整数。

Python 实现代码

def mySqrt(x: int) -> int:
    if x == 0:
        return 0
    
    left, right = 1, min(x, 46340)  # 设置合理的右边界以避免溢出
    
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        square = mid * mid
        
        if square == x:
            return mid
        elif square < x:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    
    return right  # 返回最接近但不超过 x 的平方根的那个整数

代码解释

1. 初始化边界：根据题目提示，最大可能的 x 是 (2^{31}-1)，其平方根大约为 46340。因此，我们将 right 初始化为 min(x, 46340)，这样既可以处理大数值的情况，又可以防止乘法运算时发生整数溢出。
2. 二分查找：通过不断调整 left 和 right 的值，逐步缩小搜索范围，直到找到满足条件的最大整数 mid，使得 mid * mid <= x。
3. 返回结果：最终返回 right，因为在最后一次迭代中，right 会停留在最接近但不超过 x 的平方根的位置。

这种方法的时间复杂度为 O(log(min(x, 46340)))，即对数级别的时间复杂度，非常高效。空间复杂度为 O(1)，因为我们只使用了常数级别的额外空间。

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