#数论，等比数列，乘法逆元#poj 1845 Sumdiv

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本文介绍了一种高效算法来计算模9901下ABA^BAB的约数和，利用了等比数列的性质，并通过质因数分解和快速幂运算实现。特别讨论了当(p-1)为9901的倍数时的特殊情况。

题目

求 $A^B$ 的约数和 $mod  9901\mod9901$

分析

首先A的约数和是
## $∏i=1m∑j=0cipij\prod_{i=1}^m\sum_{j=0}^{c_i}{p_i}^j$
那么 $A^B$ 的约数和为
## $∏i=1m∑j=0cipij∗B\prod_{i=1}^m\sum_{j=0}^{c_i}{p_i}^{j*B}$
那么对于单个的质因数应该怎么做，首先它转换成
## $1+p^1+p^2+p^3+...+p^{B*c}$
根据等比数列公式可得答案为
## $p^{B*c}-1)/(p-1)$
问题是 $m o d$ 无法在除法下进行，所以要用乘法逆元，特别地，当 $p - 1$ 是9901的倍数时，那么答案为 $B * c + 1$

代码

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b,ans=1;
ll ksm(ll x,ll y){//快速幂
	ll ans=1;
	while (y){
		if (y&1) ans=ans*x%9901;
		x=x*x%9901; y>>=1;
	}
	return ans;
}
ll answer(ll x,ll y){
	if ((x-1)%9901==0) return (y+1)%9901;//特判
	int a=ksm(x,y+1); a=(a+9900)%9901;//分子在0到9900之间
	int b=ksm(x-1,9899); return a*b%9901;//乘法逆元
}
int main(){
	scanf("%lld%lld",&a,&b);
	for (ll i=2;i*i<=a;i++)
	if (a%i==0){//质因数分解
		ll sum=0;
		while (a%i==0) sum++,a/=i;
		ans=ans*answer(i,sum*b)%9901;
	}
	if (a>1) ans=ans*answer(a,b)%9901;//特判
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}