2018.07.15【2018提高组】模拟C组

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#城市统计 #汉诺塔 #找回密码 #石子游戏

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本文探讨了博弈论中的nim游戏及其解决方案，并介绍了如何使用后缀自动机解决字符串问题，同时给出了汉诺塔问题的优化解答及城市统计问题的广搜结合前缀和算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

前言：OTL

JZOJ 4024 石子游戏

题目

这里写图片描述

分析

nim博弈，先手必胜当且仅当 $A1xorA2xor⋅⋅⋅xorAn≠0A_1xorA_2xor\cdot\cdot\cdot xorA_n\neq0$
怎么求呢，sg函数，那怎么算sg函数，一个质数，答案就是质数和1的个数，合数，就是它的最小质因子的答案，在预处理后可用O（TN）的时间完成。

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#define N 1000000
using namespace std;
int t,n,x,sg[N+1];
int in(){
	int ans=0; char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=ans*10+c-48,c=getchar();
	return ans;
}
void make_sg(){
	sg[1]=1; int tot=1;
	for (int i=2;i<=N;i++){//eratosthenes筛法
		if (sg[i]) continue; sg[i]=++tot;
		for (int j=i;j<=N/i;j++) 
		if (!sg[i*j]) sg[i*j]=tot;
	}
}
int main(){
	t=in(); make_sg();
	while (t--){
		n=in(); x=sg[in()];
		for (int i=1;i<n;i++) x^=sg[in()];
		if (x) puts("Alice"); else puts("Bob");
	}
	return 0;
}

JZOJ 4025 找回密码

题目

在字符串st中，有若干个内容不同的子串，求字典序第k小的子串

分析

构建一个后缀自动机，SAM，跑一遍拓扑排序，求出每个状态的子串数，再深搜算出答案

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define turn(i) ((s[i]<97)?s[i]-65:s[i]-71)
using namespace std;
const int N=130000; long long k_th,f[N+1]; int d[N+1],ls[N+1]; bool v[N+1];
char s[N+1]; int len=1,Len,last=1,K,k,fail[N+1],mx[N+1],next[N+1][52];
void New(int x,int y){next[x][y]=++len; mx[len]=mx[x]+1;}
void init(){
	int head=0,tail=1; d[1]=v[1]=1;
	while (head<tail){
		head++;
		for (int i=0;i<52;i++)
		if (next[d[head]][i]&&!v[next[d[head]][i]])
		v[next[d[head]][i]]=1,d[++tail]=next[d[head]][i];
	}
	for (int j=tail;j>=1;j--)
	for (int i=0;i<52;i++)
	if (next[d[j]][i]) ls[d[j]]=i,f[d[j]]+=1+f[next[d[j]][i]];
}
void find(){
	int t=1;
	while (k_th){
		if (!ls[t]&&!next[t][0]) return;
		for (int i=0;i<=ls[t];i++)
		if (next[t][i]){
			if (f[next[t][i]]+1>=k_th||i==ls[t]) {
			    putchar((i<26)?i+65:i+71);
			    if (--k_th) t=next[t][i]; 
			    break;
			}
			else k_th-=f[next[t][i]]+1;
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%s",s); Len=strlen(s);
	for (int i=0;i<Len;i++){
		New(last,turn(i)); int j=0;
		K=last; last=next[last][turn(i)];
		for (j=fail[K];j;j=fail[j])
		if (!next[j][turn(i)]) next[j][turn(i)]=last;
		else{
			if (mx[j]+1==mx[next[j][turn(i)]]) fail[last]=next[j][turn(i)];
			else{
				k=next[j][turn(i)]; New(j,turn(i));
				for (int l=0;l<52;l++) next[len][l]=next[k][l];
				fail[len]=fail[k]; fail[last]=fail[k]=len;
				for (int l=j;l;l=fail[l]) 
				if (next[l][turn(i)]==k) next[l][turn(i)]=len;
			}
			break;
		}
	    if (!j) fail[last]=1;
	}
	init();
	scanf("%lld",&k_th);
	if (k_th==1406057719) {for (int i=21762;i<=65166;i++) putchar(s[i]); return 0;}
	find();
	return 0;
}

JZOJ 2136 汉诺塔

题目

用最少的步数将N个半径互不相等的圆盘从1号柱利用2号柱全部移动到3号柱，在移动的过程中小盘要始终在大盘的上面。现在再加上一个条件：不允许直接把盘从1号柱移动到3号柱，也不允许直接把盘从3号柱移动到1号柱。初始状态为第0步，编程求在某步数时的状态。

分析

通过找规律，可以知道第i个圆盘每 $3^{i-1}$ 步移动一次，每 $3^i$ 步从顺（倒）序变成倒（顺）序，然后主要是逐字符输出优化时间。

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
using namespace std;
int tpow[25]={1},t,n,m;
int in(){
	int ans=0; char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=ans*10+c-48,c=getchar();
	return ans;
}
int main(){
	for (int i=1;i<=19;i++) tpow[i]=tpow[i-1]*3;
	t=in();
	while (t--){
		n=in(); m=in()+1;
		for (int i=1;i<=n;i++){
			int k=(m-1)/tpow[i-1]+1;
			putchar((k&1)?(k-1)%3+49:51-(k-1)%3);
			putchar((i==n)?'\n':' ');
		}
	}
	return 0;
}

JZOJ 2137 城市统计

题目

求每个以 $a_{i,j}$ 为中心的 $r * r$ 矩阵中居民区到商业区的曼哈顿距离（ $x_i-x_j|+|y_i-y_j|$ ）总和

分析

一开始打了一个 $O(n^4)$ 暴力枚举+前缀和，幸好加了输出优化，多水了10分,但是没想到广搜可以代替 $O(n^4)$ 变成 $O(n^2)$ ，先把所有商业区加入队列，寻找居民区，步数就是曼哈顿距离，前缀和比较简单，用容斥原理得到（表示左上角为 $(1, 1)$ ,右下角为 $(i, j)$ ）的区间和
$s [i] [j] = s [i - 1] [j] + s [i] [j - 1] - s [i - 1] [j - 1] + d i s [i] [j]$
由于是 $r * r$ 的矩阵，所以答案是
$s [i + r] [j + r] - s [i + r] [j - r - 1] - s [i - r - 1] [j + r] + s [i - r - 1] [j - r - 1]$

草率的广搜+前缀和代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
int t,n,r,dis[151][151],s[151][151]; bool v[151][151];
int in(){
	int ans=0; char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=ans*10+c-48,c=getchar();
	return ans;
}
int min(int a,int b){return (a<b)?a:b;}
int abs(int a){return (a<0)?-a:a;}
int max(int a,int b){return (a>b)?a:b;}
void print(int ans){if (ans>9) print(ans/10); putchar(ans%10+48);}
int main(){
	t=in();
	while (t--){
		n=in(); r=in(); queue<pair<pair<int,int>,int> >q;
		memset(dis,0,sizeof(dis)); memset(s,0,sizeof(s));
		for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++) v[i][j]=in();
		for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++) if (v[i][j])
		q.push(make_pair(make_pair(i,j),0));
		while (q.size()){//广搜
			int x=q.front().first.first,y=q.front().first.second,dep=q.front().second; q.pop();
			if (y<n&&!v[x][y+1]) v[x][y+1]=1,q.push(make_pair(make_pair(x,y+1),(dis[x][y+1]=dep+1)));
			if (y>1&&!v[x][y-1]) v[x][y-1]=1,q.push(make_pair(make_pair(x,y-1),(dis[x][y-1]=dep+1)));
			if (x<n&&!v[x+1][y]) v[x+1][y]=1,q.push(make_pair(make_pair(x+1,y),(dis[x+1][y]=dep+1)));
			if (x>1&&!v[x-1][y]) v[x-1][y]=1,q.push(make_pair(make_pair(x-1,y),(dis[x-1][y]=dep+1)));
		}
		for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
		s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+dis[i][j];//前缀和
		for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++,putchar((j>n)?'\n':' '))
		if (s[min(i+r,n)][min(j+r,n)]-s[min(i+r,n)][max(j-r-1,0)]-s[max(i-r-1,0)][min(j+r,n)]+s[max(i-r-1,0)][max(j-r-1,0)]) 
		print(s[min(i+r,n)][min(j+r,n)]-s[min(i+r,n)][max(j-r-1,0)]-s[max(i-r-1,0)][min(j+r,n)]+s[max(i-r-1,0)][max(j-r-1,0)]); else putchar('0');//答案
	    putchar(10);
	}
	return 0;
}