使用 SVD 方法求解 ICP 问题 - 技术刘

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#自动驾驶 #计算机视觉

博客介绍了使用SVD方法求解ICP问题。在信息技术领域，这一求解方法在相关计算和处理中具有重要意义，能为相关问题的解决提供有效途径。
视觉SLAM笔记（39） 求解 ICP
氢键H-H
10-17 1万+
SVD 方法和非线性优化方法求解 ICP
Least-Squares Rigid Motion Using SVD——文献精读（使用 SVD 方法求解 ICP 问题）
m0_55841508的博客
06-02 2669
Least-Squares Rigid Motion Using SVD——文献精读（使用 SVD 方法求解 ICP 问题）、本文的核心目标：计算对齐两组对应点的最佳拟合刚性变换的步骤
利用SVD的方法求解ICP（详细推导）
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zhouyelihua
09-03 1万+
引用资料（理论部分其实就是把第一个的不详细和错误的地方说了一下，翻译了一下第二个文献以及不明了的地方说一下O(∩_∩)O哈哈~）：高翔《视觉SLAM十四讲》问题描述  假设存在两个点云集合{pi}\{p_i\}和{p′}\{p'\}   求：一个欧氏变换R,tR,t使得     ∀i,pi=Rp′i+t\forall {i,p_i}=Rp'_i+t求解问题解： 假设误差项为   ei=pi−
SVD求解ICP问题
qq_23096319的博客
04-21 1096
最开始想到这个问题，是想进行手眼标定，有一台机械臂以及一个深度相机，如何确定相机坐标系和机械臂坐标系之间的变换关系？后来想使用接口将机械臂末端移动至某个位姿，在深度相机图像中标出该点位置（通过专门的标注工具），这样得到了一个三维点在两个坐标系下的表示，这实际构建了一个方程组。已知一组三维点在两个坐标系中的坐标表示，求这两个坐标系之间的变换关系，称为ICP问题。ICP问题也常常在SLAM和无人驾驶的研究中出现，也称为3D点云之间的匹配问题，传感器外参的标定问题。的正交矩阵，根据约束，，根据SVD的定义，
ICP 问题之 SVD
sinoai
01-03 3413
欢迎访问我的博客首页。 ICP 之 SVD1. SVD法1.1 构造最小二乘问题1.2 求解最小二乘问题1.1 求旋转矩阵1.2 求平移向量1.3 例子2. 使用程序计算2.1 源码2.2 配置文件   ICP 即 Iterative Closest Point，迭代最近点。已知三维点在两个坐标系中的坐标，求这两个坐标系的变换关系，称为 ICP 问题。 1. SVD法 1.1 构造最小二乘问题   假设从空间坐标系 O1O_1O1​ 到空间坐标系 O2O_2O2​ 的变换是 (R,t⃗ )(R, \.
svd求解点云旋转矩阵方法_【苦逼科研】用SVD求解ICP问题的完整证明
weixin_39728909的博客
12-23 416
在SLAM和无人驾驶研究过程中，我们经常会求解ICP问题（3D点云之间的匹配问题或者说传感器外参的标定问题），简单地说，就是我们有两组已知的点 和 ，我们需要找到一组参数 来代表（衡量）这两组点之间“最有可能的旋转平移变换关系”，一般来说这组参数 需要使变换前后的误差平方和达到最小，写成标准的数学问题就是： 一种常用的求解ICP问题的方法是SVD（矩阵奇异值分解），SLAM神书《视觉SLA...
svd求解点云旋转矩阵方法_使用 SVD 方法求解 ICP 问题
weixin_28744573的博客
01-17 1763
本文是结合《Least-Squares Rigid Motion Using SVD》和《Least-Squares Fitting of Two 3-D Point Sets》两篇文章写的一个总结，里面有一些是自己的理解不一定正确。1 问题定义假设我们有两个点云集合 \mathcal{P}=\left\{\mathbf{p}_{1}, \mathbf{p}_{2}, \ldots, \mathb...
svd求解点云旋转矩阵方法,利用SVD的方法求解ICP（详细推导）
weixin_36167031的博客
03-27 1411
引用资料(理论部分其实就是把第一个的不详细和错误的地方说了一下，翻译了一下第二个文献以及不明了的地方说一下O(∩_∩)O哈哈~)：高翔《视觉SLAM十四讲》K. S. ARUN, T. S. HUANG, AND S. D. BLOSTEINLeast-Squares Fitting of Two 3-D Point Sets问题描述假设存在两个点云集合和求：一个欧氏变换使得求解问题解：假设误差项...
3D-3D坐标 SVD奇异值分解 ICP迭代最近点 G2O优化 求解 求旋转平移矩阵 R t
万有文的博客
01-07 5318
* 迭代最近点 Iterative Closest Point, ICP求解 3D坐标 到 3D坐标的转换矩阵(不用求解距离 激光SLAM 以及 RGB-D SLAM) * 使用 线性代数SVD奇异值分解 或者 非线性优化方法 求解 * 使用深度图将 平面图 转化成 3维点 * 特征点匹配 得
SVD求解点对点ICP流程及代码
最新发布
weixin_43701053的博客
05-08 365
使用python实现了SVD求点对点ICP的算法过程，并用ModelNet40的点云进行测试！最后有SVD求解ICP的数学推导过程。
视觉SLAM实践入门——（16）使用SVD求解ICP
floatinglong的博客
05-21 660
啊
ICP算法详细推导过程--SVD方法(包含SVD的分解过程)
weixin_43628032的博客
12-18 3485
现有两组点云P,Q： 求两组点云的质心： 以质心为坐标原点的点云的坐标为: 求解R，t使得误差函数E(R,t)最小： 又： 所以： E(R,t)要为最小，则 ，即 则最优旋转矩阵为： 所以要使R取得最优，则： ...
第九篇 位姿优化问题 四：SVD求解ICP问题，坐标系转换亦可使用
lhjcsubupt的博客
01-28 182
SVD 求解ICP问题
ICP算法概述以及使用SVD进行算法推导
qq_20184333的博客
01-05 2511
CP算法概述以及使用SVD进行算法推导
基于SVD的ICP点云配准方法
LrFramework的博客
09-28 527
函数返回一个4×4的刚体变换矩阵T，将点云Q变换到与点云P对齐的坐标系下。ICP算法的核心思想是通过迭代寻找两个点云之间的最佳刚体变换，使得它们的对应点之间的距离最小化。最近点对齐：将待配准的点云Q根据当前的刚体变换矩阵T进行变换，得到Q’。对于Q’中的每个点，寻找P中与之最近的点，建立点对关系。首先，我们需要定义两个点云数据集P和Q，其中P为目标点云，Q为待配准的点云。奇异值分解：构建一个m×n的矩阵W，使得W = Q’ - P。计算重心：分别计算P和Q’的重心，用来对齐两个点云的整体位置。
点云配准ICP算法推导，SVD分解
qq_44949041的博客
11-09 4397
迭代最近点(Iterative Closest Point, ICP)算法可称为点云配准算法的先驱和鼻祖，该算法于上世纪90年代提出。通过学习ICP的设计原理可以深刻的了解点云配准这个数学问题及纯数学形式的解决思路。在学习的过程中我发现网上很少有从零基础讲解ICP算法的（可能默认看这类算法的都有很好的数学功底吧），所以我想写一篇关于ICP算法的详细推导博客，希望通过一篇文章帮大家彻底搞懂ICP的原理。
机器视觉之 ICP算法和RANSAC算法
weixin_30337157的博客
07-21 1011
临时研究了下机器视觉两个基本算法的算法原理 ，可能有理解错误的地方，希望发现了告诉我一下 主要是了解思想，就不写具体的计算公式之类的了 （一）ICP算法（Iterative Closest Point迭代最近点） ICP（Iterative Closest Point迭代最近点）算法是一种点集对点集配准方法，如下图1 如下图，假设PR（红色块）和RB（蓝色块）是两个点集，该算法...
ICP的不同解法：SVD分解，高斯牛顿法。代码实现
Limiao_123的博客
04-13 4196
ICP （Iterative Closest Point，最近迭代）是点云配准中的一个很重要的算法。假设有两个点云P和Q，想要找到一个变换T，使得P=TQ，那么就需要使用到这个算法。 1.最近邻查找 这一步是为Q中的点Qi找到Q中相对应的点。 这个要分情况讨论：比如在RGBD-slam中，特征点的匹配已经为我们找到了P、Q中点的对应关系，那么这一步其实是已经完成了。但是对于两坨点云，没有点和点的对应关系，我们只好先做这样一个假设：离Qi最近的P中的点Pi就是它对应的点，显然这个是不准确的，但是我们可以通过
3D-3D:ICP中SVD用法详解
qq_50719698的博客
08-23 868
最大化traceRHtraceRH：目标是找到一个旋转矩阵 ( R )，使得目标函数最大化。SVD 的应用：通过对HHH进行 SVD 分解，获得两个正交矩阵UUU和VVV，从而构建出最优的旋转矩阵RVUTR = VU^TRVUT。几何意义：SVD 解构了点集的协方差关系，通过旋转矩阵最大化了这些点集之间的对齐程度。
SVD求解是啥
03-08
<think>好的，用户现在问的是“SVD求解是啥”，我需要先回顾之前的对话历史。之前用户询问了NTD-ICP多雷达标定算法的原理，我在回答中提到了SVD求解，现在用户想深入了解这个部分。 首先，用户可能是在学习标定算法时遇到了SVD这个概念，但不太清楚它的具体含义和应用。我需要解释SVD的基本概念，以及它在ICP算法中的作用，尤其是如何用于求解旋转和平移矩阵。 接下来，我需要考虑用户的背景。用户可能具备一定的数学和工程知识，但可能对线性代数中的分解方法不熟悉。因此，解释时需要兼顾深度和易懂性，避免使用过于专业的术语，或者如果必须使用，要给出清晰的解释。 SVD（奇异值分解）是一种矩阵分解方法，能将任意矩阵分解为三个矩阵的乘积。在ICP中，SVD用于找到最优的旋转矩阵R和平移向量t，使得点云之间的误差最小。我需要详细说明这个过程，包括如何构造协方差矩阵，计算SVD，然后如何从分解结果中得到R和t。 同时，用户可能想知道为什么SVD适用于这个问题，它的优势在哪里。比如，SVD能够处理非方阵，提供最优的最小二乘解，这在点云配准中非常重要。此外，需要提到SVD在求解时的数值稳定性，这对实际应用中的算法鲁棒性很关键。 还要注意用户之前的问题涉及多雷达标定，所以可能需要将SVD的应用场景扩展到多雷达联合优化中，但这里应该保持重点在SVD本身，避免偏离主题。 另外，用户可能对具体的数学步骤感兴趣，所以需要分步骤解释，包括协方差矩阵的计算、去中心化、SVD分解以及如何利用分解结果构造R和t。同时，要注意数学符号的正确性，使用$$...$$格式，并确保LaTeX语法正确。 最后，要总结SVD求解的优势和局限性，比如对噪声的鲁棒性，计算复杂度等，让用户全面了解其适用场景和潜在问题。可能还需要提到实际应用中的注意事项，比如均值的计算、矩阵的维度等，避免常见错误。 现在需要组织这些思路，确保结构清晰，逐步引导用户理解SVD求解的原理和应用，同时保持回答的准确性和易懂性。</think>SVD（奇异值分解，Singular Value Decomposition）是一种**矩阵分解方法**，广泛应用于求解最小二乘问题、数据降维、信号处理等领域。在点云配准（如ICP算法）中，SVD用于**闭式求解最优旋转矩阵$R$和平移向量$t$**，最小化点云对齐误差。以下是其核心原理和应用步骤： --- ### 1. **SVD的数学定义** 对任意实数矩阵$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，SVD将其分解为三个矩阵的乘积： $$ A = U \Sigma V^T $$ - $U \in \mathbb{R}^{m \times m}$：左奇异向量矩阵，列向量正交； - $\Sigma \in \mathbb{R}^{m \times n}$：对角矩阵，对角线元素为**奇异值**（按降序排列）； - $V \in \mathbb{R}^{n \times n}$：右奇异向量矩阵，列向量正交。 --- ### 2. **SVD在点云配准中的应用** 在ICP算法中，SVD用于求解最优刚体变换$(R, t)$，步骤如下： #### **步骤1：计算点云中心** 对源点云$P = \{p_i\}$和目标点云$Q = \{q_i\}$，计算其质心（均值）： $$ \mu_P = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N p_i, \quad \mu_Q = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N q_i $$ #### **步骤2：去中心化点云** 将点云坐标转换为相对于质心的坐标： $$ p_i' = p_i - \mu_P, \quad q_i' = q_i - \mu_Q $$ #### **步骤3：构造协方差矩阵** 计算去中心化后的协方差矩阵： $$ H = \sum_{i=1}^N p_i' (q_i')^T $$ #### **步骤4：对协方差矩阵进行SVD分解** $$ H = U \Sigma V^T $$ #### **步骤5：求解旋转矩阵$R$** 利用分解后的矩阵构造旋转矩阵： $$ R = V U^T $$ - **确保$R$是旋转矩阵**（行列式为1）：若$\det(R) = -1$，需将$V$的最后一列取反后再计算。 #### **步骤6：求解平移向量$t$** 通过质心关系计算平移： $$ t = \mu_Q - R \mu_P $$ --- ### 3. **为什么SVD能求解最优变换？** - **几何解释**：SVD通过最大化协方差矩阵$H$的迹（即最大化点云相关性），找到使点云对齐的最佳旋转。 - **数学性质**：SVD提供了最小二乘意义下的最优解，即最小化误差函数： $$ \sum_{i=1}^N \| R p_i + t - q_i \|^2 $$ --- ### 4. **SVD求解的优势** | 优势 | 说明 | |---------------------|----------------------------------------------------------------------| | **闭式解** | 无需迭代，直接通过矩阵分解得到最优解 | | **数值稳定性** | 奇异值分解对矩阵的病态性（如噪声）具有鲁棒性 | | **全局最优性** | 在给定对应点对的条件下，SVD保证找到全局最优的$R$和$t$ | | **高效性** | 计算复杂度为$O(n)$，适用于实时应用 | --- ### 5. **局限性** - **依赖正确对应点对**：若点对匹配错误（如ICP迭代初期），SVD结果会偏离真实值。 - **仅适用于刚体变换**：无法处理非刚性变形或缩放。 - **对异常值敏感**：需结合RANSAC等鲁棒方法过滤错误匹配。 --- ### 6. **实际应用示例（以ICP为例）** ```python import numpy as np def svd_icp(source, target): # 计算质心 mu_p = np.mean(source, axis=0) mu_q = np.mean(target, axis=0) # 去中心化 source_centered = source - mu_p target_centered = target - mu_q # 协方差矩阵 H = source_centered.T @ target_centered # SVD分解 U, S, Vt = np.linalg.svd(H) # 计算R和t R = Vt.T @ U.T if np.linalg.det(R) < 0: Vt[-1,:] *= -1 R = Vt.T @ U.T t = mu_q - R @ mu_p return R, t ``` --- ### 7. **扩展应用** - **多传感器标定**：联合优化多个雷达/相机的外参。 - **三维重建**：对齐多视角点云。 - **机器人定位**：通过匹配激光雷达扫描更新位姿。 如果需要进一步探讨SVD的数学证明或与其他方法（如四元数法）的对比，可继续提问！
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