14、聚类算法全解析：从模糊聚类到谱聚类

聚类算法全解析：从模糊聚类到谱聚类

1. 引言

聚类分析是数据挖掘和机器学习领域中的重要技术，它能够将数据集中的相似数据点归为一类。本文将深入探讨多种聚类算法，包括模糊 c - 均值算法、可能性 c - 均值算法、竞争泄漏学习算法、谷搜索聚类算法和谱聚类算法，详细介绍它们的原理、应用及特点。

2. 非硬聚类算法

2.1 模糊 c - 均值算法（FCM）

模糊 c - 均值算法（FCM）是一种流行的非硬聚类算法，它假设每个数据向量可以在一定程度上同时属于多个聚类。

2.1.1 算法原理

在 FCM 中，每个紧凑聚类由参数向量 $\theta_j$ 表示（$j = 1, \cdots, m$）。数据向量 $x_i$ 属于聚类 $C_j$ 的隶属度由 $u_{ij}$ 量化，且满足 $u_{ij} \in [0, 1]$ 和 $\sum_{j = 1}^{m} u_{ij} = 1$。算法的目标是将参数向量 $\theta_j$ 移动到数据空间中数据点密集的区域。

FCM 是迭代算法，具体步骤如下：
1. 初始化参数向量 $\theta_1(0), \cdots, \theta_m(0)$。
2. 在每次迭代 $t$ 中：
- 计算数据向量 $x_i$ 在聚类 $C_j$ 中的隶属度 $u_{ij}(t - 1)$，考虑 $x_i$ 到所有 $\theta_j$ 的（平方欧几里得）距离。
- 更新代表向量 $\theta_j$ 为所有数据向量的加权均值，每个数据向量 $x_i$ 的权重为 $u_{ij}^q(t - 1)$。
3. 当连续两次迭代