🏠个人主页：fo安方的博客✨
💂个人简历：大家好，我是fo安方，考取过HCIE Cloud Computing、CCIE Security、CISP、RHCE、CCNP RS、PEST 3等证书。🐳
💕兴趣爱好：b站天天刷，题目常常看，运动偶尔做。🎐
💅欢迎大家：这里是优快云，是我记录我的日常学习，偶尔生活的地方，喜欢的话请一键三连，有问题请评论区讨论。🌺
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🪁 希望本文能够给读者带来一定的帮助~🌸文章粗浅，敬请批评指正！🐥
文章目录
算术
有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好。【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。
合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。
去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。
数字巧记： 2 = 1.414 \sqrt{2} =1.414 2=1.414(意思意思而已) ， 3 = 1.7321 \sqrt{3}=1.7321 3=1.7321(三人一起商量)， 5 = 2.236 \sqrt{5} =2.236 5=2.236(吾量量山路) ， 6 = 2.449 \sqrt{6} =2.449 6=2.449(粮食是酒)， 7 = 2.645 \sqrt{7} =2.645 7=2.645（二流是我）， 8 = 2.828 \sqrt{8} =2.828 8=2.828(二爸二爸)， 10 = 3.16 \sqrt{10} =3.16 10=3.16（山药，六两）
代数
整式
恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。 （ a − b ） 2 n + 1 = − （ b − a ） 2 n + 1 （ a − b ） 2 n = （ b − a ） 2 n （a-b）^{2n+1} = -（b - a）^{2n+1}（a-b）^{2n}=（b - a）^{2n} （a−b）2n+1=−（b−a）2n+1（a−b）2n=（b−a）2n
平方
平方差公式：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
(a+b)(a−b)=a2−b2
完全平方：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
(
a
±
b
)
2
=
a
2
±
2
a
b
+
b
2
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)2=a2±2ab+b2
重要结论一：
a
2
+
b
2
+
c
2
±
a
b
±
b
c
±
a
c
=
1
2
[
(
a
±
b
)
2
+
(
a
±
c
)
2
(
b
±
c
)
2
]
a^2+b^2+c^2±ab±bc±ac=\frac{1}{2}[(a±b)^2+(a±c)^2(b±c)^2]
a2+b2+c2±ab±bc±ac=21[(a±b)2+(a±c)2(b±c)2]
重要结论二：若
1
a
+
1
b
+
1
c
=
0
，则
(
a
+
b
+
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
。
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0，则(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2。
a1+b1+c1=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2。
立方
立方和公式：
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
立方差公式：
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
和与差的立方公式：
a
3
±
b
3
=
(
a
±
b
)
(
a
2
∓
a
b
+
b
2
)
a^3±b^3=(a±b)(a^2∓ab+b^2)
a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)
常把1看作
1
3
1^3
13：
x
3
+
1
=
(
x
+
1
)
(
x
2
−
x
+
1
)
x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
x3+1=(x+1)(x2−x+1)
x
3
−
1
=
(
x
−
1
)
(
x
2
+
x
+
1
)
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
x3−1=(x−1)(x2+x+1)
余式定理
若
F
(
x
)
F(x)
F(x)除以
f
(
x
)
f(x)
f(x)，得到的商式是
g
(
x
)
g (x)
g(x)，余式是
R
(
x
)
R(x)
R(x)，则
F
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
＋
R
(
x
)
F(x)=f(x)g(x)＋R(x)
F(x)=f(x)g(x)＋R(x)，其中
R
(
x
)
R(x)
R(x)的次数小于
f
(
x
)
f(x)
f(x)的次数﹒则
(1)若有x=α使f(a)=0，则
F
(
a
)
=
R
(
a
)
F(a)=R(a)
F(a)=R(a).
(2)F(x)除以(x—a)的余式为F(a)，F(x)除以(ax—b)的余式为
F
(
b
a
)
F(\frac{b}{a})
F(ab).
(3)对于F(x)，若x = a时，
F
(
a
)
=
0
F(a)=0
F(a)=0，则
x
−
a
x-a
x−a是
F
(
x
)
F(x)
F(x)的一个因式；若
x
—
a
x—a
x—a是
F
(
x
)
F(x)
F(x)的一个因式，则
F
(
a
)
=
0
F(a)=0
F(a)=0，也将此结论称为因式定理．
因式分解：一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。
“代入”口决：挖去字母换上数（式），数字、字母都保留；换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出（现）括弧，逐级向下变括弧（小—中—大）
单项式运算：加、减、乘、除、乘（开）方，三级运算分得清，系数进行同级（运）算，指数运算降级（进）行。
不等式
一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了。
一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间，大小，小大无处找。
一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大(鱼)于(吃)取两边，小(鱼)于(吃)取中间。
均值不等式
一般情况下，对于任意实数a,b，有
a
2
+
b
2
≥
2
a
b
，即
a
2
+
b
2
2
≥
a
b
a^2+b^2≥2ab，即\frac{a^2+b^2}{2}≥ab
a2+b2≥2ab，即2a2+b2≥ab，当且仅当
a
=
b
a=b
a=b时等号成立。
特别地，如果
a
＞
0
，
b
＞
0
a＞0，b＞0
a＞0，b＞0，可得
a
+
b
≥
2
a
b
，即
a
+
b
2
≥
a
b
a+b≥2\sqrt{ab}，即\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}
a+b≥2ab，即2a+b≥ab。（均值不等式），当且仅当a=b时等号成立。
（1）当
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn为n个正实数时，
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
n
≥
x
1
x
2
.
.
.
x
n
n
(
x
i
＞
0
，
i
=
1
,
.
.
.
,
n
)
\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}≥\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}(x_i＞0，i=1,...,n)
nx1+x2+...+xn≥nx1x2...xn(xi＞0，i=1,...,n)，当且仅当
x
1
=
x
2
=
.
.
.
=
x
n
时，等号成立。
x_1=x_2=...=x_n时，等号成立。
x1=x2=...=xn时，等号成立。
（2）
a
+
b
≥
2
a
b
，
a
b
≤
(
a
+
b
)
2
4
（
a
,
b
＞
0
）
a+b≥2\sqrt{ab}，ab≤\frac{(a+b)^2}{4}（a,b＞0）
a+b≥2ab，ab≤4(a+b)2（a,b＞0）
（3）
a
+
1
a
≥
2
（
a
＞
0
）
a+\frac{1}{a}≥2（a＞0）
a+a1≥2（a＞0）
https://zhuanlan.zhihu.com/p/52826929
分式
分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简。
a
b
=
a
k
b
k
(
k
≠
0
)
\frac{a}{b}=\frac{ak}{bk}(k≠0)
ba=bkak(k=0)
a
b
±
c
d
=
a
d
±
b
c
b
d
\frac{a}{b}±\frac{c}{d}=\frac{ad±bc}{bd}
ba±dc=bdad±bc
a
b
×
c
d
=
a
c
b
d
\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}
ba×dc=bdac
a
b
÷
c
d
=
a
d
b
c
\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}
ba÷dc=bcad
a
b
k
=
a
k
b
(
k
≠
0
)
\frac{a}{b}k=\frac{ak}{b}(k≠0)
bak=bak(k=0)
注意：上述所有公式均要求分母不为0.
分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原（根）留、增（根）舍别含糊。
最简根式的条件：最简根式三条件，号内不把分母含，幂指（数）根指（数）要互质，幂指比根指小一点。
分式裂项
1
x
(
x
+
1
)
=
1
x
−
1
x
+
1
\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}
x(x+1)1=x1−x+11
1
x
(
x
+
k
)
=
1
k
(
1
x
−
1
x
+
k
)
\frac{1}{x(x+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+k})
x(x+k)1=k1(x1−x+k1)
正负幂次对称分式
x
2
+
1
x
2
=
(
x
+
1
x
)
2
−
2
x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2
x2+x21=(x+x1)2−2
x
3
+
1
x
3
=
(
x
+
1
x
)
(
x
2
+
1
x
2
)
−
(
x
+
1
x
)
x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2})-(x+\frac{1}{x})
x3+x31=(x+x1)(x2+x21)−(x+x1)
一元二次方程
求根公式
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a ( b 2 − 4 a c ≥ 0 ，且 a ≠ 0 ) x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac≥0，且a≠0) x=2a−b±b2−4ac(b2−4ac≥0，且a=0)
根的判别式
△
=
b
2
−
4
a
c
△=b^2-4ac
△=b2−4ac
当
△
=
b
2
−
4
a
c
＞
0
△=b^2-4ac＞0
△=b2−4ac＞0时，方程有两个不相等的实根
当
△
=
b
2
−
4
a
c
=
0
△=b^2-4ac=0
△=b2−4ac=0时，方程有两个不相等的实根
当
△
=
b
2
−
4
a
c
＜
0
△=b^2-4ac＜0
△=b2−4ac＜0时，方程有两个不相等的实根
韦达定理
若
x
1
,
x
2
x_1,x_2
x1,x2为方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
≠
0
且△
=
b
2
−
4
a
c
≥
0
)
ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac≥0)
ax2+bx+c=0(a=0且△=b2−4ac≥0)的两个实根，则
x
1
+
x
2
=
−
b
a
，
x
1
x
2
=
c
a
，
∣
x
1
−
x
2
∣
=
b
2
−
4
a
c
∣
a
∣
x_1+x_2=-\frac{b}{a}，x_1x_2=\frac{c}{a}，|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}
x1+x2=−ab，x1x2=ac，∣x1−x2∣=∣a∣b2−4ac
几何
平面解析几何
特殊点坐标特征：坐标平面点(x，y)，横在前来纵在后；(+，+)，(-，+)，(-，-)和(+，-)，四个象限分前后；X轴上y为0，x为0在Y轴。
象限角的平分线：象限角的平分线，坐标特征有特点，一、三横纵都相等，二、四横纵确相反。
平行某轴的直线：平行某轴的直线，点的坐标有讲究，直线平行X轴，纵坐标相等横不同；直线平行于Y轴，点的横坐标仍照旧。
对称点坐标：对称点坐标要记牢，相反数位置莫混淆，X轴对称y相反， Y轴对称，x前面添负号；原点对称最好记，横纵坐标变符号。
自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。
函数
函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式写成 y = k ( x + 0 ) + b y=k(x+0)+b y=k(x+0)+b、二次函数的解析式写成 y = a ( x + h ) 2 + k y=a(x+h)^2+k y=a(x+h)2+k的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号，上下平移在末稍，左正右负须牢记，上正下负错不了”。
一次函数图像与性质口诀：一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单，经过原点一直线；两个系数k与b，作用之大莫小看，k是斜率定夹角，b与Y轴来相见，k为正来右上斜，x增减y增减；k为负来左下展，变化规律正相反；k的绝对值越大，线离横轴就越远。
二次函数
二次函数图像与性质口诀：二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点， 它们确定图象现；开口、大小由a断，c与Y轴来相见，b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。若求对称轴位置， 符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
一般式：
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
(
a
≠
0
)
一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0)
一般式：y=ax2+bx+c(a=0)
顶点式：
y
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
+
4
a
c
−
b
2
4
a
(
a
≠
0
)
顶点式：y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}(a≠0)
顶点式：y=a(x+2ab)2+4a4ac−b2(a=0)
两根式：
y
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
(
a
≠
0
)
两根式：y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)
两根式：y=a(x−x1)(x−x2)(a=0)
二次函数顶点坐标 （ − b 2 a ， 4 a c − b 2 4 a ） （-\frac{b}{2a}，\frac{4ac-b^2}{4a}） （−2ab，4a4ac−b2）
二次函数的基本表示形式为
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
(
a
≠
0
)
y=ax^2+bx+c (a≠0)
y=ax2+bx+c(a=0)。二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
我们需要记忆二次函数的坐标为
（
−
b
2
a
，
4
a
c
−
b
2
4
a
）
（-\frac{b}{2a}，\frac{4ac-b^2}{4a}）
（−2ab，4a4ac−b2）
在记忆这个坐标之前我们先把这个转化成汉字形式，对称轴为负2A分之B，极值为4A分支4AC减B方。
然后开始记忆联想：
二次函数可以联想我们在车站我们喊了2次叔叔和他道别；
对称轴可以联想为叔叔的衣(把负谐音成衣服的服)服拉链两侧口袋里有2支单位分的笔和纸，笔的外壳上还有A的图案。
极值可以联想叔叔快赶不上火车了，开始用最快速度奔跑，他在4A检票口R检票上车，在4A检票口有两个分支一条路是走楼梯，一条路是坐电梯，他选择坐电梯发现笔掉了，于是手（手张开虎口像字母C)捡起笔放(由C减B方谐音得到)好，这样我们就能把二次函数的顶点位置坐标给记住。
最值
当
a
＞
0
a＞0
a＞0时，函数图像开口向上，y有最小值，
y
m
i
n
=
4
a
c
−
b
2
4
a
y_{min}=\frac{4ac-b^2}{4a}
ymin=4a4ac−b2，无最大值；
当
a
＜
0
a＜0
a＜0时，函数图像开口向上，y有最小值，
y
m
a
x
=
4
a
c
−
b
2
4
a
y_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a}
ymax=4a4ac−b2，无最小值。
单调性
当 a ＞ 0 a＞0 a＞0时，函数在区间 ( − ∞ , − b 2 a ) (-∞,-\frac{b}{2a}) (−∞,−2ab)上是减函数，在 ( − b 2 a , + ∞ ) (-\frac{b}{2a},+∞) (−2ab,+∞)上是增函数。
当 a ＜ 0 a＜0 a＜0时，函数在区间 ( − ∞ , − b 2 a ) (-∞,-\frac{b}{2a}) (−∞,−2ab)上是减函数，在 ( − b 2 a , + ∞ ) (-\frac{b}{2a},+∞) (−2ab,+∞)上是增函数。
反比例函数
反比例函数图像与性质口诀：反比例函数有特点，双曲线相背离的远；k为正，图在一、三(象)限，k为负，图在二、四(象)限；图在一、三函数减，两个分支分别减。图在二、四正相反，两个分支分别添；线越长越近轴，永远与轴不沾边。
三角函数
巧记三角函数定义：初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是三角形边的比值，可以把两个字用／隔开，再用下面的一句话记定义：一位不高明的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话:正对鱼磷(余邻)直刀切。正：正弦或正切，对：对边即正是对；余：余弦或余弦，邻：邻边即余是邻；切是直角边。
三角函数的增减性： 正增余减
特殊三角函数值记忆：首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3，分子记口诀“123，321，三九二十七”既可。
平面几何
平行四边形的判定：要证平行四边形，两个条件才能行，一证对边都相等，或证对边都平行，一组对边也可以，必须相等且平行。对角线，是个宝，互相平分“跑不了”，对角相等也有用，“两组对角”才能成。
梯形问题的辅助线：移动梯形对角线，两腰之和成一线；平行移动一条腰，两腰同在“△”现；延长两腰交一点，“△”中有平行线；作出梯形两高线，矩形显示在眼前；已知腰上一中线，莫忘作出中位线。
平分线：可向两边作垂线；线段垂直平分线，引向两端把线连，三角形边两中点，连接则成中位线；三角形中有中线，延长中线翻一番。
圆的证明歌：圆的证明不算难， 常把半径直径连；有弦可作弦心距，它定垂直平分弦；直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边；还有与圆有关角，勿忘相互有关联，圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连。同弧圆周角相等，证题用它最多见， 圆中若有弦切角，夹弧找到就好办；圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆；直角相对或共弦，试试加个辅助圆；若是证题打转转，四点共圆可解难；要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连，直线与圆未给点，需证半径作垂线；四边形有内切圆，对边和等是条件；如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦。
余弦定理
对于比较复杂的公式，可以只记它的大致结构，具体细节可以现场口算推导。至于哪些部分需要记忆，哪些部分可以推导，就看你的水平了，水平越高，需要记忆的部分就越少。
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
c
o
s
C
c^2=a^2+b^2-2abcosC
c2=a2+b2−2abcosC
需要记忆的大致结构：比勾股定理多了与
c
o
s
C
cos C
cosC有关的一项
可以推导的细节：
c
o
s
C
cos C
cosC前面的系数应该含
a
b
ab
ab，因为它应该与其它项齐次；系数应该是负的，因为角
C
C
C越大，
c
o
s
C
cos C
cosC越小，而边
c
c
c越大；系数的绝对值应该是2，可以取特殊值
C
=
0
C=0
C=0验证。
需要记忆的细节：无。
https://zhidao.baidu.com/question/92153515.html
其他
函数图形
这个小人的两只手臂就是各种函数的曲线图，是不是很生动形象，花不了多少时间就能深刻地记忆每种函数的基本形状
图像记忆
勾股定理
任意四边形于长方形之间的转化
https://www.zhihu.com/question/20261422要复制出来
两角和与差公式的巧妙记法：
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