牛客P21578 思维，数论-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/stdforces/article/details/127760499

题意：

给定 $n$ ，求有多少四元组 $(a, b, c, d)$ 满足 $a^b=c^d$

Solution：

从唯一分解看，幂 $b, d$ 只改变质因数的幂，而不改变质因数的种数，因此，要满足题意， $a, c$ 一定存在结构一样的部分，设为 $x$ ，那么
$a=x^{k_{1}}\\ c=x^{k_{2}}$

对 $x = 1$ ， $b, d$ 不一定一样，且都任意取值，方案数为 $n^2$ ，此时为 $a = c = 1$ ；
对 $a=c\neq1$ 时， $a=c\in[2,n]$ ， $b=d\in[1,n]$ ，方案数为 $n (n - 1)$
下面只需要考虑 $a\neq c$ 的情况

当我们知道同样部分 $x$ 的时候，我们很容易可以知道以这个数为最小结构的数有多少，而我们只需要枚举一个最小的 $x$ ，就可以统计所有以 $x$ 为最小结构的数，他们分别是
$x,x^2,x^3,....$
此时只需要找出序列长度大于 $2$ 的 $x$ ，即 $x^2\leq n\Rightarrow x\leq\sqrt{n}$ ，我们用 $O(\sqrt{n})$ 枚举 $x$ ，只需要找出最大的 $i$ 满足 $x^i\leq n$ ，即可找出这些数，那么 $a, c$ 一定出现在这些数之中，原题要满足
$x^{bk_{1}}=x^{dk_{2}}\Rightarrow bk_{1}=dk_{2}$

由于 $n\leq 10^9$ ，因为 $2^{32}>10^9$ ，于是 $i\leq 32$ ，所以考虑枚举 $k_{1},k_{2}$ ，由于 $a\neq c$ ，即 $k_{1}\neq k_{2}$ ，此时方程解的组数就是方案数，先化简方程至 $gcd(k_{1},k_{2})=1$ ，即解
$\frac{b}{d}=\frac{k_{2}}{k_{1}}$
设 $b=k_{2}x\leq n,d=k_{1}x \leq n$ ，有 $x\leq min\{\frac{n}{k_{1}},\frac{n}{k_{2}}\}$ ，

如果不化简，这个 $x$ 可能不是最大的

最后，这个序列的元素的都用最小的 $x$ 统计了，所以 $x$ 的其他幂需要跳过，数组记录即可

// #include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<map>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=1e5+5,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod=1e9+7;

ll n,ans;
bool vis[N];

int main()
{
    cin>>n; ans=(1ll*n*n%mod+1ll*n*(n-1)%mod)%mod;
    int limit=sqrt(n);
    for(int i=2;i<=limit;i++)
    {
        if(vis[i]) continue;
        ll max1=1,now=i;
        while(now*i<=n) max1++,now*=i;
        now=i;
        for(int j=1;j<=max1;j++)
        {
            if(now<=limit) vis[now]=true;
            for(int k=1;k<=max1;k++)
                if(j!=k) ans=(ans+n/max(j/__gcd(j,k),k/__gcd(j,k)))%mod;
            now*=i;
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}