洛谷P3935 约数个数定理，整除分块

数学与编程：计算约数个数与求和

最新推荐文章于 2025-07-24 19:54:49 发布

原创最新推荐文章于 2025-07-24 19:54:49 发布 · 244 阅读

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#算法

该博客探讨了数学中的约数个数定理，并将其应用于编程问题。通过唯一分解定理，作者展示了如何计算一个数的所有约数个数，并利用这个原理解决了一个求和问题。博客中提供了具体的算法实现，使用了整除分块技术，确保了O(sqrt(r))的时间复杂度，从而高效地解决了给定范围内的求和问题。

题意：

设 $x$ 的唯一分解为 $x=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{n}^{a_{n}}$ ，令 $f(x)=(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)$ ，给出 $l, r$ ，求
$\sum_{i=l}^{r}f(i)$

Solution：

先补一个结论

约数个数定理

记 $x$ 的约数个数为 $d (x)$

设唯一分解 $x=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{n}^{a_{n}}$ ，那么每个因子的幂取值为 $0,a_{i}]$

所以约数就是幂的取值组合个数，即 $d(x)=(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{n}+1)$

题目 $f (x) = d (x)$ ，容斥即求
$\sum_{i=1}^{r}d(i)-\sum_{i=1}^{l-1}d(i)$
这是两个相同的问题，我们只需要考虑如何求解
$\sum_{i=1}^{n}d(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}1$
右式意为，对一个 $i$ ，找出他的所有因数个数，反过来考虑，我们可以考虑一个数，它存在多少个倍数 $≤n\leq n$ ，于是即求
$\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$
整除分块即可，总复杂度 $O(r)O(\sqrt{r})$

// #include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<map>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=1e5+5,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod=998244353;

ll f(ll x)
{
    ll ret=0;
    for(ll l=1,r;l<=x;l=r+1)
    {
        ll tmp=x/l; r=tmp?min(x/tmp,x):x;
        ret=(ret+(r-l+1)%mod*(tmp%mod)%mod)%mod;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    ll l,r; cin>>l>>r;
    cout<<((f(r)-f(l-1))%mod+mod)%mod;  
    return 0;
}