洛谷P2261 整除分块模板

最新推荐文章于 2025-11-25 11:31:36 发布

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#算法

题意：

给出 $n, k$ ，求出
$\sum_{i=1}^{n}k\ mod\ i$

Solution：

由于 $i=k−⌊ki⌋⋅ik\ mod\ i=k-\lfloor\frac{k}{i}\rfloor\cdot i$ ，于是只需要求
$nk-\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{k}{i}\rfloor\cdot i$
对于一段使 $⌊ki⌋\lfloor\frac{k}{i}\rfloor$ 相同的 $i$ ，可以利用等差数列求和这一段

现在考虑对于一个 $l$ ，如何找到最大的 $r$ 满足
$\lfloor\frac{k}{l}\rfloor=\lfloor\frac{k}{r}\rfloor$
有这样的等式满足
$\lfloor\frac{k}{l}\rfloor=\lfloor\frac{k}{r}\rfloor\leq\frac{k}{r}$
于是
$r\leq\frac{k}{\lfloor\frac{k}{r}\rfloor}=\frac{k}{\lfloor\frac{k}{l}\rfloor}\Rightarrow r_{max}=\lfloor\frac{k}{\lfloor\frac{k}{l}\rfloor}\rfloor$

此时找出了最大的 $[l, r]$ 使 $⌊kl⌋=⌊kr⌋\lfloor\frac{k}{l}\rfloor=\lfloor\frac{k}{r}\rfloor$ ，只需要对 $r + 1$ 作为新的左端点时重新计算即可，并且当 $⌊kl⌋=0\lfloor\frac{k}{l}\rfloor=0$ 时， $r=+∞r=+\infty$ 。无论何种情况，切莫忘记题目 $≤n\leq n$ 的限制

时间复杂度

设 $i⋅j=ki\cdot j=k$

当 $i≤ni\leq \sqrt{n}$ 时， $j≥nj\geq \sqrt{n}$ ，此时 $i$ 最多 $n\sqrt{n}$ 种取值，对应的 $j$ 只可能有一个取值，于是此时最多有 $n\sqrt{n}$ 种 $⌊ki⌋\lfloor\frac{k}{i}\rfloor$

同理对 $i≥ni\geq \sqrt{n}$ ，此时相当于 $i, j$ 轮换，取值种数仍然是 $n\sqrt{n}$ 种

于是总取值不超过 $2n2\sqrt{n}$ 种，时间复杂度 $O(n)O(\sqrt{n})$

// #include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<map>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=1e5+5,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod=1e9+7;

ll n,k;

int main()
{
    cin>>n>>k;
    ll l=1,ans=1ll*n*k;
    while(l<=n)
    {
        ll val=k/l,r=val?min(n,k/val):n;
        ans-=1ll*(l+r)*(r-l+1)/2*val;
        l=r+1;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}