洛谷P2158 欧拉函数

最新推荐文章于 2025-02-20 22:11:35 发布

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#算法

题意：

有一个 $n×nn\times n$ 的方阵，有一个观察者站在 $(1, 1)$ ，问他能看到多少个除 $(1, 1)$ 外的点

Solution：

视线是个射线，我们考虑经过远点的某条直线 $y = k x$ ，如果存在一个点 $x_{0},y_{0})$ 在直线上，那么 $2x_{0},2y_{0}$ 也在直线上，但这是看不到的，于是，对每个斜率 $k$ ，只有满足 $yx=k\frac{y}{x}=k$ 且 $g c d (x, y) = 1$ 的点才能被看到，斜率值域是 $(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)$ ，于是只需要满足 $g c d (x, y) = 1$ 的点都能被 $(0, 0)$ 的观察者看到（由于 $(0, y), (x, 0)$ 斜率特殊，需要特判）

那么在原题，只需要满足 $g c d (x - 1, y - 1) = 1$ 的点，就可以被看到，其中 $x∈[2,n],y∈[2,n]x\in[2,n],y\in[2,n]$ ，即满足 $x∈[1,n−1],y∈[1,n−1],gcd(x,y)=1x\in[1,n-1],y\in[1,n-1],gcd(x,y)=1$ 的点都能被看到，不妨令 $x≥yx\geq y$ ，这就是 $ϕ(x)\phi(x)$ ，同理 $x≤yx\leq y$ 时是 $p hi (y)$ ，需要注意的是，当 $n≠1n\neq1$ 时， $(2, 2)$ 点会被计算两次，需要减去一次，当 $n = 1$ 时，不存在 $(1, 2), (2, 1)$ ，不需要+2

答案即

$(2\sum_{i=1}^{n-1}\phi(i))-1+2,n>1$

$0, n = 1$

// #include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<complex>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<map>
#include<algorithm>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=40005,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f,mod=1e9+7;

int n,cnt,prime[N],phi[N];
bool isprime[N];

void make_prime()
{
	memset(isprime,true,sizeof(isprime));
	phi[1]=1; isprime[0]=isprime[1]=false;
	for(int i=2;i<N;i++)
	{
		if(isprime[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<N;j++)
		{
			isprime[i*prime[j]]=false;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];
				break;
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}

int main()
{
	cin>>n;
	make_prime();
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<n;i++) ans+=phi[i]<<1;
	cout<<ans+(n!=1);
	return 0;
}