2020icpc上海E 全排列计数

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原创最新推荐文章于 2026-06-04 09:41:55 发布 261 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

2020ICPC南京站总结 2020ICPC南京站总结本算法蒟蒻参与的第一场icpc比赛，不出意外的打了铁。感受到了与很多算法dalao间的差距与自身巨多的不足，继续在算法这条路上摸爬滚打的前进吧，以后的日子里继续努力向牌子发起冲击。总的来说从热身赛到正式赛，题目都出的超有意思（虽然自己很多做不出hhh），很棒的idea强求不来，不过也悄咪咪dream一个自己有一天灵光乍现，顺带出个很棒的题。（努力吧！）顺带水一下自己在比赛过程中过的两个题： K-K Co-prime Permutation 比赛的时候深刻的感受到一个真理：看不阅读详情

题意：

如果一个排列中，对于任意的 $i∈[k+1,n]i\in[k+1,n]$ ，都有 $a [i] > min (a [i - k], ..., a [i - 1])$ 成立，那么这个排列就是一个好的排列。 $n$ 的排列中有多少个排列是好的排列？

Solution：

要这样的排列存在，首先必须让 $1$ 出现在区间 $[1, k]$ 内，设 $d p [i]$ 为用 $i$ 个不相同的数计算出的这样的排列有多少个，不妨枚举 $1$ 出现的位置 $j$ ，那么 $[1, j - 1]$ 位置任意放置任何数， $[j + 1, i]$ 用另外的 $i - j$ 个数重新构成一个这样的排列，于是
$dp[i]=\sum_{j=1}^{k}A_{i-1}^{j-1}dp[i-j]$
这样的单次转移是 $O (k)$ 的，但可以写成这样
$dp[i]=(i-1)!\sum_{j=1}^{k}\frac{dp[i-j]}{(i-j)!}$
显然求和是区间和形式，维护 $dp[i]i!\frac{dp[i]}{i!}$ 的前缀和就可以 $O (1)$ 转移

全排列问题似乎不需要太注意全排列？用 $t$ 组每组元素都互异的数来等价替换全排列

// #include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<complex>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<map>
#include<algorithm>
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=1e7+5,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3f3f3f3f3f3f,mod=998244353;

ll dp[N],fac[N],invfac[N],sum[N];
int n,k;

ll qpow(ll a,ll b)
{
	ll ret=1,base=a;
	while(b)
	{
		if(b&1) ret=ret*base%mod;
		base=base*base%mod;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}

void initial()
{
	for(int i=fac[0]=invfac[0]=1;i<N;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	invfac[N-1]=qpow(fac[N-1],mod-2);
	for(int i=N-2;i>=1;i--) invfac[i]=invfac[i+1]*(i+1)%mod;
}

int main()
{
	initial();
	cin>>n>>k;
	//有多少个n的排列，使得a[i]>min(a[i-k],a[i-k+1],...,a[i-1]);
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		dp[i]=fac[i];
		sum[i]=(sum[i-1]+dp[i]*invfac[i]%mod)%mod;
	}
	for(int i=k+1;i<=n;i++)	
	{
		dp[i]=fac[i-1]*(((sum[i-1]-sum[i-k-1])%mod+mod)%mod)%mod;
		sum[i]=(sum[i-1]+dp[i]*invfac[i]%mod)%mod;
	}
	cout<<dp[n];
	return 0;
}