洛谷P1880 四边形不等式优化石子合并

题意：

给定圆周上的$n$堆石子，每一堆有$w_i$个石头，合并两堆的代价为两堆的石头总数之和，问合并所有堆为一堆的最小代价。

$O(n^2)$做法：

转移方程形如$dp[i][j]=min(dp[i][k],dp[k+1][j])+w[i][j]$的转移方程，可以用四边形不等式优化，将$O(n^3)$的复杂度降为$O(n^2)$。其中必须是$min$，$w[i][j]$表示处理区间为$[i,j]$的贡献。

四边形不等式：

若$l\le l^{\prime }\le r^{\prime }\le r$，有$w[l^{\prime }][r^{\prime }]\le w[l][r]$或$w[l][r^{\prime }]+w[l^{\prime }][r]\le w[l][r]+w[l^{\prime }][r^{\prime }]$成立，就有如下的不等式成立：

$s[l][r-1]<=s[l][r]<=s[l][r+1]$，其中$s[l][r]$表示为$[l,r]$的最佳决策点，即使$dp[l][k]+dp[k+1][j]$最小的$k$

那么，我们计算$dp[i][j]$时，我们只需要在$[s[i][j-1],s[i+1][j]]$中枚举$k$即可，假设我们在$j-i$恒定的情况下枚举，也就是按顺序枚举$dp[i][j],dp[i+1][j+1],dp[i+2][j+2],...,dp[n-(j-i+1)+1][n]$

我们分别需要在

$[s[i][j-1],s[i+1][j]]$

$[s[i+1][j],s[i+2][j+1]]$

$.....$

$[s[n-(j-i+1)+1][n-1],s[n-(j-i+1)+1-1][n]]$

中枚举$k$，发现这些区间首尾相连，总长度为$s[n-l+2][n]-s[1][l-1]+n-l+1\le n+n=2n$

所以我们给定计算区间的长度，可以在$O(n)$时间内计算完所有的这个长度的$dp$值，枚举长度也是$O(n)$，总复杂度是$O(n^2)$

最大值：

性质：$dp[i][j]$的最大值总是在合并端点处取得，也就是$max(dp[i+1][j],dp[i][j-1])$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int n,w[205],sum[205],dp[205][205],s[205][205];
int inf=0x3fffffff,ans=inf;

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>w[i];
        sum[i]=sum[i-1]+w[i];
        s[i][i]=i;
    }
    for(int i=n+1;i<=2*n;i++)
    {
        w[i]=w[i-n];
        s[i][i]=i;
        sum[i]=sum[i-1]+w[i];
    }
    auto getvalue=[&](int l,int r)
    {
        return sum[r]-sum[l-1];
    };    
    for(int i=1;i<=2*n;i++)
    {
        // for(int j=1;j<=2*n;j++) dp[i][j]=inf;
        dp[i][i]=0;
    }
    for(int i=2*n-1;i>=1;i--)
        for(int j=i+1;j<=2*n;j++) dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j-1])+getvalue(i,j);
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=min(ans,dp[i][i+n-1]);
    cout<<ans<<endl;
    for(int i=2*n-1;i>=1;i--)
        for(int j=i+1;j<=2*n;j++) dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1])+getvalue(i,j);
    ans=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,dp[i][i+n-1]);
    cout<<ans;
    return 0;    
}