洛谷P3572 单调队列优化_洛谷单调队列-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/stdforces/article/details/126741727

该博客介绍了如何运用单调队列优化动态规划算法，解决关于鸟儿在树间跳跃的最小劳累值问题。通过维护一个单调递减的队列，可以在O(nm)的时间复杂度内求解每只鸟到达目标位置的最小劳累值总和。博客详细解释了算法思路并提供了C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

有 $n$ 棵树，每棵高 $h_{i}$ ，有 $m$ 只鸟，每只鸟有一个参数 $k_{i}$ ，代表这只鸟在 $x$ 位置时能跳到 $[x, x + k]$ 的任意一个位置。如果从 $i$ 跳往 $j$ ，并且有 $h_{i}<=h_{j}$ ，那么这次跳跃需要一个单位的劳累值。所有鸟都需要从 $1$ 跳到 $n$ ，问每只鸟的最小劳累值总和。

方法：

设 $d p [i]$ 为到达 $i$ 的最小劳累值总和，那么 $dp[i]=min(dp[j]+(h[j]<=h[i])),j∈[max(1,i−k),i−1]dp[i]=min(dp[j]+(h[j]<=h[i])),j\in[max(1,i-k),i-1]$

我们可以在按顺序计算 $d p [i]$ 的同时，维护一个单调队列，来 $O (1)$ 的获得 $[ma x (1, i - k), i - 1]$ 的最大值。

维护的不应该是最终对 $i$ 的贡献，应该维护的仅仅是 $d p [i]$ ，因为 $i$ 变化时 $h [i]$ 变化，对这个位置的贡献可能发生变化。

那么维护得到了多个值相同的位置，应该是选择一个最优的：

一种思考是遍历所有有最小值的位置，我们取其中一个位置比现在高的，这样可以不用付出劳累值，如果不存在比现在高的，我们就用最小值+1，这样的决策一定不会更劣，应该最小值+1一定还是小于等于次小值的。这样的最坏时间复杂度是 $O(n^2m)$

在这样的基础上贪心思考，我们如果在拥有同样最小值的位置里面只保存最高的地方，这一定是更优的，不需要全部遍历，复杂度是 $O (nm)$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int n,m,h[2000005];
int dp[2000005];
deque<int>q;

int solve(int k)
{
	while(!q.empty()) q.pop_back();
	dp[1]=0; q.push_back(1);
	//dp[i]=min(dp[j]+(h[j]<=h[i])); j+k[j]-1>=i
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		while(!q.empty()&&q.front()<i-k) q.pop_front();
		dp[i]=dp[q.front()]+(h[q.front()]<=h[i]);
		while(!q.empty()&&dp[q.back()]>dp[i]) q.pop_back();
		while(!q.empty()&&dp[q.back()]==dp[i]&&h[q.back()]<=h[i]) q.pop_back();
		q.push_back(i);
	}
	return dp[n];
}

int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&h[i]);
	cin>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int tmp; scanf("%d",&tmp);
		printf("%d\n",solve(tmp));
	}
	return 0;
}