四边形不等式优化讲解（详解）

累加器传送门：

http://blog.youkuaiyun.com/NOIAu/article/details/71775000

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本篇博文意在详细讲解如下内容

F. 什么是四边形不等式

S. 四边形不等式优化如何证明

T. 怎么用四边形不等式优化

（好气啊，这篇博文我写了两遍，第一遍的没有保存就关了）
（感谢博客园的Staginner，他的博客对我有很大影响）
（感谢wys大佬亲自为我查了一部分内容的错）
（如果本文有什么错误的话，请向我提出，非常感谢）
这是他的博客：
http://www.cnblogs.com/staginner/archive/2012/03/12/2391925.html

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引入：

在dp问题中，我们经常遇见这样的一类问题
他们的dp转移方程是这样的

dp[i][j]=min{dp[i][k]+dp[k+1][j]+cost[i][j]}

显然for一边i，for一边j，在算dp[i][j]的时候还得for一遍k，这是O（n^3）的复杂度，这样的复杂度在很多时候是不能接受的，如果dp转移方程已经设计好了，也无法再在dp方程上优化，我们怎么来提高计算效率呢？(关于O（n^2）复杂度的证明我放在最后)

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~PART ONE 交叉小于包含

对于（ a < b <= c< d ）

如果有f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d]

(可以理解为一句话，交叉小于包含，即交叉的两个区间，a到c和b到d的值满足小于等于包含的两个区间[bc包含于ad])
则说这个东西满足四边形不等式，当然这个东西可能是dp数组，也可以是其他数组，比如引入里提到的cost数组，表示的是i到j的花费（比如合并石子问题）

给出两个定理：

1、如果上述的w函数同时满足区间包含单调性和四边形不等式性质，那么函数dp也满足四边形不等式性质
我们再定义s(i,j)表示 dp(i,j) 取得最优值时对应的下标（即 i≤k≤j 时，k 处的 dp 值最大，则 s(i,j)=k此时有如下定理
2、假如dp(i,j)满足四边形不等式，那么s(i,j)单调，即 s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)
如果不知道为什么，没有关系，反正后面都要证明

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~PART TWO 证明过程三步走

（这一部分如果没有完全懂没有关系，PART-THREE里会结合题目来推导一遍，所以有一小部分推导在这里先不写出来，这一部分尽量先说原理和方法）

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壹：证明cost为凸（满足四边形不等式）

显然，当且仅当对于所有的i，j，均满足如下式子
(令i< i+1<= j< j+1)
cost[i][j]+cost[i+1][j+1]<=cost[i][j+1]+cost[i+1][j]
(利用PART ONE的交叉小于包含写出来的式子)
转移一下式子
即要证明对于所有的i，j，要使
cost[i][j]-cost[i+1][j]&