31、LLL算法在数论中的应用：从二次方程求解到记录突破

LLL算法在数论中的应用：从二次方程求解到记录突破

1. 有理数域上二次方程的求解

在有理数域 (Q) 上求解二次方程是一个重要的研究课题。通常我们可以假设这些方程是可解的，因为测试其可解性相对容易。其中，三元二次方程 (q(x, y, z) = 0)，特别是对角方程 (ax^2 + by^2 + cz^2 = 0)（也称为勒让德方程）是研究的重点。

一般的非对角三元二次方程通常会转化为勒让德类型的对角方程。对于勒让德方程，存在多种算法，但部分算法存在问题。例如，一些算法通过将 (ax^2 + by^2 + cz^2 = 0) 的解从 (a’x^2 + b’y^2 + c’z^2 = 0)（新系数小于原系数）的解推导得出，但这种约化依赖于模 (a)、(b) 或 (c) 开平方根的可能性，这需要知道 (abc) 的因式分解，且整个算法中因式分解的总数较多，待分解的数可能很大，导致实际运行速度极慢。

不过，也有一些算法不需要对除 (a)、(b) 和 (c) 之外的其他整数进行因式分解，如文献中提到的某些算法在实践中运行速度较快。

另外，还有利用格的约化理论的算法。由于LLL算法可以约化二次型，所以可以用来求解有理数域上的二次方程。但LLL算法先验地只能处理正定二次型，而有解的二次方程通常不是正定的。解决这个问题有两种方法：
- 构建一个新的正定二次型，其约化有助于求解初始二次方程。
- 使LLL算法适应不定二次型。

例如，与问题相关的正定二次型为 (q = |a|x^2 + |b|y^2 + |c|z^2)，但用它对 (Z^3) 进行约化可能没有结果，因为它已经是正交的。根据相关研究，如果 (a)、(b) 和 (c) 是互质