22、三维格基约化算法详解

三维格基约化算法详解

在数学和密码学领域，格基约化问题是一个重要的研究方向。本文将详细介绍一种三维格基约化算法，该算法在处理三维格基时具有高效性和独特的优势。

1. 引言：高斯约化算法

在 $n$ 维实数空间 $\mathbb{R}^n$ 中，给定 $k$ 个线性无关的向量 $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \cdots, \mathbf{b}_k$（$k \leq n$），可以定义一个 $k$ 维格 $L$：
[L = {z_1\mathbf{b}_1 + z_2\mathbf{b}_2 + \cdots + z_k\mathbf{b}_k | z_i \in \mathbb{Z}}]
格 $L$ 的行列式 $\Delta(L)$ 定义为 $\Delta(L) = |\det BB’|^{1/2}$，其中 $B$ 是一个 $k \times n$ 的矩阵，其行向量为 $\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \cdots, \mathbf{b}_k$。当 $k = n$ 时，$\Delta(L) = |\det B|$。向量 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$ 的欧几里得长度记为 $|\mathbf{b}|$，格 $L$ 中最短非零向量的长度记为 $\lambda(L)$。

在高维情况下，找到格的最短向量是一个困难的问题。著名的 LLL 算法可以找到一个非零向量 $\mathbf{b} \in L$，使得 $|\mathbf{b}| \leq 2^{(k - 1)/2}\lambda(L)$。对于 $L \subseteq \mathbb{Z}^n$（$n$ 固定）且 $|\mathbf{b}_