12、高斯算法相关研究：从欧几里得算法到概率模型

高斯算法相关研究：从欧几里得算法到概率模型

1. 与中心欧几里得算法的关系

高斯算法的每个版本都是（中心）欧几里得算法的扩展：
- PGAUSS算法 ：与形式为 (v = qu + r)（其中 (|r| \in [0, Cu/2])）的欧几里得除法相关。
- AGAUSS算法 ：基于形式为 (v = qu + \epsilon r)（其中 (\epsilon = \pm1)，(r \in [0, Cu/2])）的欧几里得除法。

若考虑有理数而非数对，对于旧有理数 (x = u/v) 或新有理数 (y = r/u)，每次欧几里得除法都可以用一个映射来表示。定义 (I = [-1/2, +1/2]) 和 (\tilde{I} = [0, 1/2])，映射 (V: I \to I) 和 (\tilde{V}: \tilde{I} \to \tilde{I}) 如下：
[
V(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{x} - \left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor, & x \neq 0 \
0, & x = 0
\end{cases}
]
[
\tilde{V}(x) =
\begin{cases}
\epsilon\left(\frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{x} - \left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor\right), & x \neq 0 \
0,