9、格基约化算法的概率分析：二维与LLL算法的深入探究

格基约化算法的概率分析：二维与LLL算法的深入探究

1. 引言

在格基约化算法的研究中，二维情况是理解一般情况的关键工具。本文首次尝试将动力学分析方法应用于LLL算法，把LLL算法视为一个整体的动力学系统，它并行运行多个二维动力学系统，并“收集”这些小系统的所有动态。这或许能让我们利用高斯算法在概率和动力学方面的精确结果，来描述LLL算法的概率行为和整体动态。

2. 二维格基约化算法

2.1 二维格的基本概念

• 格的定义 ：维度为 $p$ 的格 $L \subseteq \mathbb{R}^n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的离散加法子群，由一组 $p$ 个线性无关向量 $B = (b_1, b_2, \cdots, b_p)$ 的整数线性组合生成，这些向量称为格 $L$ 的基。一个格可以由无穷多个基生成，这些基通过行列式为 $\pm1$ 的整数矩阵相互关联。
• 格基约化的目标 ：格基约化算法的目标是为给定的欧几里得格找到一个“约化”基，这个基由几乎正交且足够短的向量组成。

2.2 二维格的特殊性质

• 复数表示 ：在二维情况下，不失一般性，格可以看作 $\mathbb{C}$ 的子集。对于复数 $z \in \mathbb{C}$，我们用 $|z|$ 表示其模，也表示向量 $z$ 的欧几里得范数；对于两个复数 $u, v$，用 $(u \cdot v)$ 表示它们的标量积。有如下重要关系：
  [
  \frac{v}