4、格理论基础与相关算法解析

格理论基础与相关算法解析

1. 格的基本定义与性质

格在数学领域中有着重要的地位，我们首先从格的维度和秩开始介绍。对于格 $L$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中的情况，其维度或秩 $\dim(L)$ 定义为其线性生成空间 $\text{span}(L)$ 的维度 $d$。当 $d = n$ 时，称该格为满秩格。维度实际上就是格中线性无关向量的最大数量，并且格 $L$ 的任何一组基都恰好包含 $d$ 个元素。虽然总是存在 $d$ 个线性无关的格向量，但这些向量不一定能构成基，不过定理表明我们能从这些向量推导出格的基。

定理 2 指出，设 $L$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的 $d$ 维格，$c_1, \cdots, c_d \in L$ 为线性无关向量，那么存在一个下三角矩阵 $(u_{i,j}) \in M_d(\mathbb{R})$，使得向量 $b_1, \cdots, b_d$（其中 $b_i = \sum_{j = 1}^{i} u_{i,j}c_j$）线性无关，且 $L = L(b_1, \cdots, b_d)$。由此可得推论 1，即 $\mathbb{R}^n$ 中的任何格至少有一组基。

除此之外，还有一个关于两个基关系的定理。定理 3 表明，设 $(b_1, \cdots, b_d)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中格 $L$ 的一组基，$c_1, \cdots, c_d$ 是 $L$ 中的向量，那么存在唯一的 $d\times d$ 整数矩阵 $U = (u_{i,j}) {1\leq i,j \leq d} \in M_d(\mathbb{Z})$，使得 $c_i = \sum {j = 1}^{d} u_{i,j}