高斯启发式Gaussian Heuristic 格理论相关知识

刚刚接触格密码，在WP里看到Gaussian Heuristic，没搜到直接的讲解。只找到英文版，遂作翻译。

latex公式怎么加粗啊

格 Lattice，基本空间 fundamental domain，赫米特定理 Hermite’s Theorem，高斯启发式 The Gaussian Heuristic

翻译自https://blog.youkuaiyun.com/qq_33458986/article/details/104366177

如有错误敬请指正

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基本空间

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基本空间的体积

命题 7.20 $L\subset {\mathbb{R}}^n$ 为维数为n的格，${\nu }_1,v_2,v_3,....,v_n$是L的一组基底，$\mathcal{F}=\mathcal{F}(v_1,...,v_n)$是格L的基本区域，第i个基向量的坐标可以写成

$v_i=(r_{i1},r_{i2},...,r_{in})$

以每一个$v_i$的坐标为列，组成矩阵
$F=F({\nu }_1,...,{\nu }_n)=\left(\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& \dots & r_{1n}\\ r_{21}& r_{22}& \dots & r_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_{n1}& r_{n2}& \dots & r_{nn}\end{array}\right)$

则$\mathcal{F}$的体积定义为：
$Vol(\mathcal{F}({\nu }_1,{\nu }_2,...,{\nu }_n))=|det(F({\nu }_1,{\nu }_2,...,{\nu }_n))|$

当基向量相互正交，$Det(\mathcal{L})=Vol(\mathcal{F})$获得最大值

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赫米特定理

定理 7.25 (赫米特定理)对于所有n维的格L，都包含一个非零向量$\nu \in L$，并且满足：
$||\nu ||\le \sqrt{n}det(L{)}^{1/n}$

对于这一定理有更精确的说明如下：

更精确的说明

注记 7.26 给定维度n，赫米特常数${\gamma }_n$是使所有n维格L包含的非零向量$\nu$满足下式的最小值
$||\nu |{|}^2\le {\gamma }_{n}det(L{)}^{2/n}$
由定理7.25(赫米特定理)可知 ${\gamma }_n\le n$ (其实就是平方了一下)。只有$1\le n\le 8$或者$n=24$时，${\gamma }_n$的值才可知：

${\gamma }_2^2$	${\gamma }_3^3$	${\gamma }_4^4$	${\gamma }_5^5$	${\gamma }_6^6$	${\gamma }_7^7$	${\gamma }_8^8$	${\gamma }_{24}^{24}$
$\frac{4}{3}$	2	4	8	$\frac{64}{3}$	64	256	4

为了一些密码方面的目的，我们通常关注当n很大时的${\gamma }_n$的值。n很大时，${\gamma }_n$满足

$\frac{n}{2\pi e}\le {\gamma }_n\le \frac{n}{\pi e}$
其中$\pi =3.14159....$，$e=2.71828...$，都是常数。

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高斯启发式

The Gaussian Heuristic 是对赫米特常数的进一步缩小

定义：
L是n维格，高斯所期望的最短的长度是
$\sigma (L)=\sqrt{\frac{n}{2\pi e}}(detL{)}^{1/n}$

高斯启发式表示，在一个“随机选择的格”中的最短非零向量满足
$||{\nu }_{shortest}||\approx \sigma (L)$

更精确地，假如确定了$ϵ>0$，则当n足够大时的n维格L满足
$(1-ϵ)\sigma (L)\le ||{\nu }_{shortest}||\le (1+ϵ)\sigma (L)$