30、小世界中的临界现象解析

小世界中的临界现象解析

1. 长程模型

长程模型是许多研究结果的基础。我们从一个 $d$ 维的、包含 $V$ 个位点的规则晶格开始。与以概率 $p$ 添加长程链接不同，我们给晶格中的每个位点赋予一个与晶格中其他每个位点的弱耦合，耦合强度为 $p/V$。通过结合平均场和标准重整化群技术，我们可以在这个系统上获得很多结果。将这个模型与小世界网络中路径长度的相关平均场解进行比较是很有趣的。

在很多情况下，这个模型能让我们提取小世界模型的标度性质。我们的总体策略是研究 $p$ 较小时的情况。在局部，小世界模型和长程模型有明显区别：小世界网络中的一个给定位点要么有长程链接，要么没有。但当观察包含许多链接的大区域时，我们可以预期小世界网络中链接数量的随机波动变得不重要。随着 $p$ 变小，我们会发现存在一种由这些大区域控制的普适行为，使得局部相互作用的细节变得不重要，并且小世界模型和长程模型常常会重合。

2. 平衡统计

在平衡统计力学中，我们通常考虑具有均匀铁磁耦合的模型，如 Ising 模型、XY 模型等。我们引入一个场 $\varphi(x)$ 来表示这些模型，其中 $x$ 标记晶格位点，$\varphi$ 有 $n = 1, 2, \cdots$ 个分量，配分函数为：
[Z = \sum_{ {\varphi}} \exp [−S[\varphi]] ]
其中 $S = E/kT$ 是能量为 $E$ 的构型在温度 $T$ 下的统计权重。

对于规则 $d$ 维晶格上的模型，$S[\varphi] = S_{local}[\varphi]$，其中 $S_{local}[\varphi]$ 仅包含短程相互作用，