32、小世界网络中的临界现象与复杂网络安全问题解析

小世界网络中的临界现象与复杂网络安全问题解析

小世界网络的临界现象

在小世界网络研究中，当系统规模 (V) 趋于无穷大时，对于任意非零的 (p) 值，两种小世界网络（硬网络和软网络）的宽度都会趋近于一个有限值。在硬网络中，宽度的缩放趋近于平均场版本的某种形式；而软网络则不呈现这种缩放特性。

从非微扰结果来看，通过微扰获得的有效质量只能描述系统宽度的平均行为，并不能确定系统的特征值谱。我们定义矩阵 (\Gamma) 的特征值密度为 (\rho(\lambda))，可以通过公式 ([G(\lambda)] = P[(\Gamma - \lambda + i\epsilon)^{-1}]) 来计算 (\rho(\lambda))，即 (\rho(\lambda) = -Im[Tr(G(\lambda))]/\pi V)。此时，需要计算依赖于 (\lambda) 的自能 (\Sigma(\lambda))，这就要求将自能中出现的所有格林函数都替换为 (G(\lambda))。

对于硬网络，自能 (\Sigma) 对 (\lambda) 的依赖很弱，主导项 (p) 不涉及任何格林函数，因此不依赖于 (\lambda)，只有在更高阶时才会出现对 (\lambda) 的依赖。所以，我们预期硬网络的谱中存在一个真实的能隙，其大小等于 (p) 加上 (p^2) 阶的高阶修正。

而对于软网络，我们回顾之前的研究结果。假设系统规模 (V) 趋于无穷大，考虑长度为 (l) 的链段，任意给定的位点没有长程链接的概率为 (e^{-p})，那么该链段没有长程链接的概率为 (e^{-pl})。尽管长度为 (l) 的准线性链段的概率呈指数级小，但它们的特征值量级为 (1/l^2)。对大的 (l