31、小世界中的临界现象：Edwards - Wilkinson方程解析

小世界中的临界现象：Edwards - Wilkinson方程解析

1. 引言

在小世界模型里，两个爆发点之间存在固定连接，它们有很大概率相互多次再感染。超过某个时间后，系统会趋近于一个具有特定密度的稳定状态。本文聚焦于Edwards - Wilkinson（EW）模型，探讨其在小世界网络中的特性。

2. EW模型的软硬版本

2.1 软硬版本的定义

EW模型在小世界网络中有两种不同的变体：“软”版本和“硬”版本。
- 软版本 ：在一维基底上，每对节点以概率 (p/V) 添加单位强度的随机链接。
- 硬版本 ：每个节点除了与最近邻相连外，还有一条随机的长程链接，链接强度为 (p)，且每个节点只会被选中一次来创建长程链接。

2.2 研究动机

研究这两种网络的动机主要有两个方面：
- 应用方面 ：硬网络在可扩展的偏微分方程（PDES）方案中有应用，所有处理元素具有相同的连接性，长程链接上的弱连接对应于长程同步检查，相较于局部同步较为罕见。
- 缩放特性方面 ：软网络具有异常缩放特性，而硬网络没有。

2.3 相关方程

考虑小世界的单个实现方程：
(\partial_t h_i = h_{i + 1} + h_{i - 1} - 2h_i - \sum_{j = 1}^{V} \hat{J} {ij}(h_i - h_j) + \eta_i(t))
其中，(