18、网络结构的平衡统计力学

网络结构的平衡统计力学

1. 引言

在理解复杂世界时，人们常将其分解为子单元，并描绘这些子单元间的相互作用。很多系统都可通过定义子单元，用其相互作用网络来简单且有效地表示。离散数学中处理网络的领域是图论，其研究始于Leonhard Euler，20世纪50年代，Erd˝os和R´enyi引入经典随机图概念。到90年代末，大量大型网络的实际图谱出现，建模工作开始关注这些系统的新特性。

网络由许多通过相互作用（边）连接的相似子单元（顶点）构成，这与统计物理中的系统类似。因此，统计物理中处理核心问题的方法可应用于网络，如用于图优化和拓扑相变。本文将探讨符合统计物理中平衡概念的网络系综构建，重点关注结构转变。

1.1 平衡网络系综的定义

自然网络大多源于非平衡过程，因此网络的平衡概念本质上是一种抽象。我们将平衡网络系综定义为由遵循细致平衡和遍历性的重组过程生成的图的平稳系综。在重组过程中，图的边会被移除和/或插入。

1.2 定义带来的问题及解决方法

• 重连时间尺度问题 ：不同系统中，重连特定链接的特征时间尺度不同。例如，细胞的生化途径网络结构变化可能需要数年到数百万年，商业交互网络的重组时间尺度为几天到数年，而技术网络的特征时间可能更短。
• 允许图的集合问题 ：在有限的测量时间内，很难确定未观测到的图是概率低还是根本不被允许，因此允许图的集合通常不明确。解决方法是允许所有图，并调整模型的其他参数以重现观测到的典型图的统计特性。
• 能量函数问题 ：确定允许