13、无标度网络中最短路径结构的类别

无标度网络中最短路径结构的类别

在复杂网络的研究中，无标度网络（SF 网络）因其独特的性质而备受关注。本文将深入探讨 SF 网络中最短路径结构的类别，包括负载分布的交叉、负载 - 负载相关性以及直径变化分布等方面。

1. 树状和环状无标度网络负载分布的交叉

在各种 SF 树中，负载指数 δ 经解析计算得出为 2.0，且与度指数 γ 无关。为了研究当环路数量增加时，δ = 2.0 这个值如何变化，我们对 BA 模型进行了修改。具体操作是，一个新顶点以 1 - p 的概率连接一条边到现有网络，以 p 的概率连接两条边，此时新顶点发出的平均边数为 ⟨m⟩ = 1 + p。
- 当 p = 0 时，网络为树状结构，负载指数 δ 确实为 2.0。
- 当 ⟨m⟩ 增加到约 1.1 时，树结构的不同分支间的边以非平凡的方式形成稀疏环路，负载指数增加到 δ ≃ 2.2。

从图 7 可以看出，当 ⟨m⟩ ≃ 1.1 时，δ ≃ 2.2 这个值具有鲁棒性，在 2 < γ < 3 的范围内，很大程度上与度指数 γ 无关。只要 ⟨m⟩ 小于一个依赖于 γ 的特征值 ⟨m⟩c，这种普适行为就会持续存在，超过这个值，δ 就会依赖于 γ。而且，随着系统规模 N 的增加，δ ≃ 2.2 的平稳区域会扩展。

Barthélemy 对静态模型和 BA 模型的负载分布进行了大量数值模拟，发现即使在 2 < γ < 3 的范围内，负载指数的鲁棒性也会失效。不过，他使用的负载定义与我们稍有不同，他忽略了顶点发出和到达的 N - 1 个数据包对该顶点负载的贡献，而我们将其计算在内。在 N 趋于无穷大时，对于负载较大的顶点，这种差异可以忽略不计，但在有限规模的系统（如