1、复杂网络的断层扫描与稳定性

复杂网络的断层扫描与稳定性

1. 引言

近年来，复杂网络行为的研究备受关注，尤其是无标度网络。无标度网络的度分布在自然界诸多现象中都有体现，如互联网、万维网、代谢网络等。研究网络结构有助于设计更好的网络拓扑，也能为通信网络中的路由和搜索算法提供优化思路。渗流理论在预测和预防网络故障方面至关重要，对理解生物和化学过程的稳定性也有重要意义。

渗流理论主要研究图中节点或边的稀释问题。对于许多图，存在一个有限的阈值 $p_c$，当稀释比例 $p < p_c$ 时，存在一个与整个网络规模成比例的连通簇；当 $p > p_c$ 时，图会分裂成小簇。在相变点附近，连通簇的大小、关联长度等都遵循特定的标度形式。

2. 一般结果

2.1 连通簇存在的条件

对于具有度分布 $P(k)$ 的图，若要存在连通簇，从巨型簇通过一条边到达的节点平均至少要有一条其他边。这意味着给定节点 $i$ 与 $j$ 相连时，节点 $i$ 的平均度 $\langle k_i|i \leftrightarrow j\rangle$ 至少为 2。通过贝叶斯规则和一些推导，可得到临界条件 $\kappa \equiv \frac{\langle k^2\rangle}{\langle k\rangle} = 2$。当 $\kappa > 2$ 时，存在连通簇；当 $\kappa < 2$ 时，只有小簇。

在阈值以下，可忽略图中的环。因为在一个 $s$ 节点簇中，形成环的概率与 $(s/N)^2$ 成正比，其中 $N$ 是网络的总节点数。计算系统中环的比例 $P_{loop}$ 可知，在临界阈值以下，环的比例可忽略不计。