2、复杂网络的断层扫描与稳定性解析

复杂网络的断层扫描与稳定性解析

1. 网络构建与度分布

在网络构建中，若要构建具有精确给定无标度度分布、无自环（连接节点自身的环）和无重边（连接同一组节点的两条或更多边）的图，其上限截断值不能大于 $\sqrt{N}$；而若允许使用多重图（即包含自环和重边），则可达到自然上限截断值。以下两个事实支撑了这一观点：
- 几乎所有具有自然截断值的图都是多重图。考虑一个节点度 $K \gg \sqrt{N}$ 的图，当 $\lambda > 2$ 时，由于总边数为 $N$ 阶，中心节点的自环数量与 $K^2/cN \gg 1$ 成正比，重边情况也类似。
- 移除重边和自环不会影响分布尾部的行为。假设一个节点度 $K \gg \sqrt{N}$，度为 1 的节点数量为 $N$ 阶，该节点与度为 1 的节点的连接数量与其度 $K$ 成正比，由于指向度为 1 节点的边既不是自环也不是重边，所以上限截断值至少与自然截断值成正比，且实际中与精确度分布的偏差相当小。

基于无标度度分布可构建多重图，将其转换为简单图会改变度分布，但保留尾部的幂律形式。若要在禁止自环和重边的同时保持精确的度序列，上限截断值可能会改变。

2. 无标度网络的断层扫描

2.1 构建描述

基于 Molloy - Reed 模型进行网络构建，该过程逐步揭示网络，遵循特定方法并在模型上施加层次结构，以便在图中定义层。具体步骤如下：
1. 设置网络中的节点数 $N$。
2. 根据无标度分布函数 $P(k) = ck^{-\lambda}$ 选择节点度，其中 $c \approx (\lambda - 1)m^{\lambda - 1}$ 是归