26、机器人动力学分析：欧拉 - 拉格朗日方法详解

机器人动力学分析：欧拉 - 拉格朗日方法详解

1. 外力映射与广义力

当在机器人非末端执行器的某点施加外力时，可利用该点的雅可比矩阵将力映射到机器人的关节上。此力可像方程 8.19 那样添加到广义力中。需注意，在欧拉 - 拉格朗日方法里，重力并非广义力，而是计入机器人的势能。

2. 欧拉 - 拉格朗日公式推导

要运用欧拉 - 拉格朗日方法，需先定义机器人的广义坐标和力，再计算其各组件的动能和势能。
- 动能计算 ：机器人第 $i$ 个连杆的动能计算公式为：
$K_i = \frac{1}{2}m_iv_{ci}^T v_{ci} + \frac{1}{2}\omega_i^T C_{I_i}\omega_i$ (8.20)
式中，线性和角速度向量可基于任意坐标系，因其内积结果与坐标系无关。但要特别关注连杆的惯性矩阵，若在参考坐标系 ${0}$ 中计算角速度，需用旋转矩阵 $^0R_i$ 和方程 8.8 转换惯性矩阵：
$^0I_i = ^0R_i C_{I_i} ^0R_i^T$ (8.21)
不过，依机器人运动学结构复杂度，在参考坐标系 ${0}$ 计算可能有较大计算负担，很多时候在各连杆坐标系计算更佳。最终，机器人总动能为各组件动能之和：
$K = \sum_{i = 1}^{n} K_i$ (8.22)
在计算中，准确确定连杆质心速度很重要。简单运动学结构的机器人，连杆质心速度可直观得出；复杂结构的机器人则需用递归方法和雅可比矩阵精确简便计算。
- 势能计算 ：机器人组件的势能源于重力和连杆连接器的弹簧力（若有），计