高等数学（微积分）上

yzr213

已于 2024-02-03 14:46:26 修改

阅读量1.4k

点赞数 20

分类专栏：考研数学文章标签：考研

于 2023-12-27 14:23:36 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/yzr213/article/details/135241630

版权

考研数学专栏收录该内容

4 篇文章

订阅专栏

参考：

高等数学【同济第六版】

高等数学【同济第七版】

《普林斯顿微积分读本修订版》提取码：1234

《普林斯顿数学分析读本》提取码：5678

《托马斯微积分》提取码：1234

1. 函数与极限

1.1 映射与函数

1.1.1 集合

1. 集合概念
集合	具有某种特定性质的事物的总体，称为集合（简称 "集" ）
元素	组成这个集合的事物，称为该集合的元素（简称 "元" ）
集合记号	用大写拉丁字母 $A$ ， $B$ ， $C$ ，... 表示集合
元素记号	用小写拉丁字母 $a$ ， $b$ ， $c$ ，... 表示集合中的元素
元素与集合（关系）	如果 $a$ 是集合 $A$ 中的元素，就说 $a$ 属于 $A$ ，记作 $a\in A$
元素与集合（关系）	如果 $a$ 不是集合 $A$ 中的元素，就说 $a$ 不属于 $A$ ，记作 $a\notin A$
有限集	一个集合，若只包含有限个元素，则称为有限集
无限集	不是有限集的集合，称为无限集
集合表示法
列举法	把集合的全体元素一一列举出来表示；例如，由元素 $a_1$ ， $a_2$ ，... ， $a_n$ 组成的集合 $A$ ，可表示成 $A$ = { $a_1$ ， $a_2$ ，... ， $a_n$ }；
描述法	若集合 $M$ 是由具有某种性质 $P$ 的元素 $x$ 的全体所组成，就可表示为 $M$ = { $x$ \| $x$ 具有性质 $P$ }
描述法	示例：集合 $B$ 是方程 $x^2 - 1$ = $0$ 的解集，就可表示成 $B =$ { $x$ \| $x^2 - 1$ = $0$ }
常用数集记号
对于数集	在大写字母的右上角标上 " * " 来表示该数集内不包含数字 0（无零集）
对于数集	在大写字母的右上角标上 " + " 来表示该数集内不包含 0 与负数（正数集）
自然数集	全体非负整数，即自然数的集合记作 $N$ ，即 $N$ = { $0$ ， $1$ ， $2$ ，... ， $n$ ，... }；
正整数集	全体正整数的集合，记作 $N^{+}$ ，即 $N^{+}$ = { $1$ ， $2$ ，... ， $n$ ，... }；
整数集	全体整数的集合，记作 $Z$ ，即 $Z$ = { ... ， $-n$ ，... ， $-2$ ， $-1$ ， $0$ ， $1$ ， $2$ ，... ， $n$ ，... }；
有理数集	全体有理数的集合（可表示为分数、小数的形式），记作 $Q$ ，即 $Q$ = { $\frac{\mathrm{p} }{\mathrm{q} }$ \| $p \in Z$ ， $q \in N^{+}$ ，且 $p$ 与 $q$ 互质 }；
实数集	全体实数的集合，记作 $R$
实数集（不含 0 ）	排除数字 0 的实数集，记作 $R^{*}$
正实数集	全体正实数集，记作 $R^{+}$
集合与集合（关系）
设 $A$ 、 $B$ 是两个集合
子集	如果集合 $A$ 的元素都是集合 $B$ 的元素，则称 $A$ 是 $B$ 的子集记作 $A$ $\subset$ $B$ （读作 $A$ 包含于 $B$ ）或 $B$ $\supset$ $A$ （读作 $B$ 包含 $A$ ）
集合相等	如果集合 $A$ 与集合 $B$ 互为子集，即 $A$ $\subset$ $B$ 且 $B$ $\subset$ $A$ ，则称集合 $A$ 与集合 $B$ 相等，记作 $A$ $=$ $B$
真子集	如果 $A$ $\subset$ $B$ 且 $A$ $\neq$ $B$ ，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记作 $A$ ⫋ $B$ 例如， $N$ ⫋ $Z$ ⫋ $Q$ ⫋ $R$
空集	不含任何元素的集合，称为空集，记作 ∅ 规定：空集 ∅ 是任何集合 $A$ 的子集，即 ∅ $\subset$ $A$
2. 集合的运算
集合的基本运算有以下几种：并、交、差

并集	设 $A$ 、 $B$ 是两个集合，由所有属于 $A$ 或者属于 $B$ 的元素组成的集合，称为 $A$ 与 $B$ 的并集（简称并），记作 $A$ $\cup$ $B$ ，即 $A$ $\cup$ $B$ = { $x$ \| $x$ $\in$ $A$ 或 $x$ $\in$ $B$ }；
交集	设 $A$ 、 $B$ 是两个集合，由所有既属于 $A$ 又属于 $B$ 的元素组成的集合，称为 $A$ 与 $B$ 的交集（简称交），记作 $A$ $\cap$ $B$ ，即 $A$ $\cap$ $B$ $=$ { $x$ \| $x$ $\in$ $A$ 且 $x$ $\in$ $B$ }；
差集	设 $A$ 、 $B$ 是两个集合，由所有属于 $A$ 而不属于 $B$ 的元素组成的集合，称为 $A$ 与 $B$ 的差集（简称差），记作 $A$ $\setminus$ $B$ ，即 $A$ $\setminus$ $B$ $=$ { $x$ \| $x$ $\in$ $A$ 且 $x$ $\notin$ $B$ }；
全集（基本集）	有时将问题限定在一个大的集合 $I$ 中进行，所研究的其他集合 $A$ 都是 $I$ 的子集；此时，我们称集合 $I$ 为全集或基本集，称 $I$ $\setminus$ $A$ 为 $A$ 的余集或补集，记作 $A^C$
集合的并、交、余运算满足下列法则：
1. 交换律	$A$ $\cup$ $B$ = $B$ $\cup$ $A$ $A$ $\cap$ $B$ = $B$ $\cap$ $A$
2. 结合律	( $A$ $\cup$ $B$ ) $\cup$ $C$ = $A$ $\cup$ ( $B$ $\cup$ $C$ ) ( $A$ $\cap$ $B$ ) $\cap$ $C$ = $A$ $\cap$ ( $B$ $\cap$ $C$ )
3. 分配律	( $A$ $\cup$ $B$ ) $\cap$ $C$ = ( $A$ $\cap$ $C$ ) $\cup$ ( $B$ $\cap$ $C$ ) ( $A$ $\cap$ $B$ ) $\cup$ $C$ = ( $A$ $\cup$ $C$ ) $\cap$ ( $B$ $\cup$ $C$ )
4. 对偶律	$(A\cup B)^C$ = $A^C \cap B^C$ $(A\cap B)^C$ = $A^C \cup B^C$
符号 " $\Rightarrow$ " 表示 " 推（导）出 " 符号 " $\Leftrightarrow$ " 表示 " 等价 "
直积（笛卡尔乘积）	在两个集合之间还可以定义直积或笛卡尔（Descartes）乘积；设 $A$ 、 $B$ 是任意两个集合，在集合 $A$ 中任意取一个元素 $x$ ，在集合 $B$ 中任意取一个元素 $y$ ，组成一个有序对 ( $x$ ， $y$ ) ，把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合 $A$ 与集合 $B$ 的直积，记为 $A\times B$ ，即 $A\times B$ = {( ，) \| $x$ $\in$ $A$ 且 $y$ $\in$ $B$ }
3. 区间和邻域
区间	区间，是用得较多的一类数集
开区间	设 $a$ 和 $b$ 都是实数，且 $a$ $<$ $b$ . 数集 { $x$ \| $a< x< b$ } 称为开区间，记作 $(a,b)$ ，即 $(a,b)=$ { $x$ \| $a< x< b$ }
端点	$a$ 和 $b$ 称为开区间 $(a,b)$ 的端点，此处 $a\notin (a,b)$ ， $b\notin (a,b)$
闭区间	数集 { $x$ \| $a\leqslant x\leqslant b$ } 称为闭区间，记作 $[a,b]$ ，即 $[a,b]$ = { $x$ \| $a\leqslant x\leqslant b$ }
闭区间	$a$ 和 $b$ 也称为闭区间 $[a,b]$ 的端点，此处 $a\in [a,b]$ ， $b\in [a,b]$
半开区间	类似地可说明： [ $a$ ， $b$ ) = { $x$ \| $a\leqslant x< b$ } ( $a$ ， $b$ ] = { $x$ \| $a< x\leqslant b$ } [ $a$ ， $b$ ) 和 ( $a$ ， $b$ ] 都称为半开区间
有限区间	以上的这些开区间、闭区间、半开区间，都称为有限区间
区间长度	数 $b-a$ 称为这些区间的长度
无限区间	从数轴上看，有限区间是长度有限的线段；此外，还有无限区间，引进记号 $+\infty$ （正无穷大）及 $-\infty$ （负无穷大）

	全体实数的集合 $R$ 也可记作 $(-\infty ,+\infty )$ ，它也是无限区间
注意	以后在不需要辨明所论区间是否包含端点，以及是有限区间还是无限区间的场合，简单称之为 "区间" ，常用 $I$ 表示
邻域	邻域也是一个经常用到的概念；以点 $a$ 为中心的任何开区间，称为点 $a$ 的邻域，记作 $U(a)$
	设 $\delta$ 是任一正数，则开区间 $(a-\delta , a+\delta )$ 就是点 $a$ 的一个邻域，这个邻域称为点 $a$ 的 " $\delta$ 邻域 " ，记作 $U(a,\delta )$ ，即 $U(a,\delta )$ = { $x$ \| $a-\delta < x< a+\delta$ } 点 $a$ 称为这邻域的中心， $\delta$ 称为这邻域的半径

1.1.2 映射

1.1.3 函数

1. 函数概念
函数定义	设数集 $D$ $\subset$ $R$ ，则称映射 $f:$ $D$ $\rightarrow$ $R$ 为定义在 $D$ 上的函数，通常简记为 $y$ $=$ $f(x)$ ， $x$ $\in$ $D$ ，其中 $x$ 称为自变量， $y$ 称为因变量， $D$ 称为定义域，记作 $D_f$ ，即 $D_f$ $=$ $D$