超级会员免费看
多元统计与方向数据统计分析
1. 多元统计中的独立成分分析与聚类分析
在多元统计中，我们可以通过以下公式计算混合矩阵
A
和分离矩阵
W
：
A_ICA = A_PCA * B;
W_ICA = B' * W_PCA;
混合矩阵
A
可用于估计测量中分离信号的比例，其元素
aij
对应主成分载荷。在 MATLAB 中可以找到 FastICA 包，链接为：http://www.cis.hut.fi/projects/ica/fastica/ 。
聚类分析是将彼此相似的对象分组的方法。它首先计算所有对象对之间的相似度，然后根据相似度对组进行排序，最终创建一个以树状图形式可视化的层次结构。以下是聚类分析的详细步骤：
1.
计算相似度
：有多种方法可以计算两个数据向量之间的相似度，常见的有：
-
欧几里得距离
：这是多元空间中描述两个测量值的两点之间的最短距离，是最直观的相似度度量方法。
-
曼哈顿距离
：类似于在曼哈顿城市中，只能沿着垂直的街道行走，而不能斜穿街区，曼哈顿距离是所有差值的总和。
-
相关相似度系数
：使用皮尔逊线性积矩相关系数来计算两个对象的相似度。但该系数对异常值非常敏感，使用时需谨慎。
-
内积相似度指数
：将数据向量的长度归一化为 1 并计算它们的内积，得到的相似度指数常用于传递函数应用中。该指数的值在 0 到 1 之间，0 表示无相似度，1 表示最大相似度。
2.
构建层次结构
：大多数聚类算法会将相似度最高的两个对象连接起来，然后迭代地连接最相似的对象对或聚类。根据数据类型和应用的不同，描述聚类之间差异的方式也有所不同：
-
K - 均值聚类
：使用多个
K
聚类的多元均值之间的欧几里得距离作为对象组之间差异的度量。当数据表明存在一个被随机噪声包围的真实均值时使用。
-
K - 最近邻聚类
：使用最近邻的欧几里得距离作为差异的度量。当数据集中存在自然异质性且不能归因于随机噪声时使用。
在应用聚类算法之前，需要评估数据的属性。例如，对于火山灰的地球化学样本，
SiO2
含量可能约为 77%，而
Na2O
含量仅为 3.5%，但
Na2O
含量可能更重要。此时，需要对数据进行零均值转换（均值中心化），通过自动缩放来校正方差和均值的差异，即标准化数据使其均值为 0，方差为 1。为避免封闭数据产生的伪像，如人为的负相关，可以使用 Aitchison 的对数比变换。
以下是一个聚类分析的示例，使用存储在
sediment_2.txt
中的沉积物数据：
clear
data = load('sediments_2.txt');
Y = pdist(data);
imagesc( squareform(Y)), colormap(hot)
title('Euclidean distance between pairs of samples')
xlabel('First Sample No.')
ylabel('Second Sample No.')
colorbar
Z = linkage(Y)
dendrogram(Z);
xlabel('Sample No.')
ylabel('Distance')
box on
cophenet(Z,Y)
聚类结果与主成分分析得到的分组相同，通过
cophenet
相关系数可以测试聚类结果的有效性，该系数越接近 1，聚类效果越好。
2. 方向数据统计分析
在地球科学中，分析圆形和球形数据的方法被广泛应用。方向数据主要分为两类：具有真正极性的方向数据，如河流的古水流方向；以及描述轴向数据和无方向感的线的定向数据，如节理的方向。
MATLAB 不是分析方向数据的首选，因为它没有提供相关的函数。不过，我们可以使用简单的 MATLAB 代码来显示方向数据、计算 von Mises 分布并进行简单的统计测试。
1.
图形表示
：显示方向数据的经典方法是玫瑰图，它是角度测量的直方图。以下是绘制玫瑰图的步骤：
- 加载数据：
clear
data_degrees_1 = load('directional_1.txt');
- 将数据从度转换为弧度：
data_radians_1 = pi*data_degrees_1/180;
- 绘制玫瑰图：
rose(data_radians_1,12)
- 在地球科学中，0° 指向正北，90° 指向正东，角度顺时针增加。可以使用 `view` 命令旋转和镜像图形：
view(90,-90)
- 为了使玫瑰图的弧段面积与频率成比例，可以修改 `rose.m` 文件，将频率取平方根后绘制：
% 在 rose.m 文件中，第 58 行计算角度直方图后添加
nn = sqrt(nn);
- 保存修改后的函数为 `rose_sqrt.m` 并应用：
rose_sqrt(data_radians_1,12)
view(90,-90)
- 经验分布 ：方向数据的特征可以通过集中趋势和离散程度的度量来描述。假设我们收集了一组角度测量值，通过计算每个方向的正弦和余弦值来计算结果向量或平均方向。以下是计算示例：
clear
data_degrees_1 = load('directional_1.txt');
data_radians_1 = pi*data_degrees_1/180;
x_1 = sum(sin(data_radians_1))
y_1 = sum(cos(data_radians_1))
mean_radians_1 = atan(x_1/y_1)
mean_degrees_1 = 180*mean_radians_1/pi
if x_1 < 0 && y_1 < 0
mean_degrees_1 = mean_degrees_1 + 180
end
R_1 = sqrt(x_1^2 + y_1^2)
Rm_1 = R_1 / (length(data_radians_1))
sigma_1 = 1 - Rm_1
结果向量的长度取决于数据的离散程度，平均结果长度的值随着离散程度的增加而减小，因此 1 与平均结果长度的差值通常用作方向数据离散程度的度量，即圆形方差。
3.
理论分布
：描述方向数据的经典理论分布是 von Mises 分布，其概率密度函数为：
[f(\theta)=\frac{1}{2\pi I_0(\kappa)} \exp(\kappa \cos(\theta - \mu))]
其中，(\mu) 是平均方向，(\kappa) 是浓度参数，(I_0(\kappa)) 是第一类零阶修正贝塞尔函数。以下是计算不同浓度参数下 von Mises 分布的示例：
clear
mu = 0; kappa = [0 1 2 3 4]';
theta = -180:1:180;
mu_radians = pi*mu/180;
theta_radians = pi*theta/180;
for i = 1:5
mises(i,:) = (1/(2*pi*besseli(0,kappa(i))))* ...
exp(kappa(i)*cos(theta_radians-mu_radians));
theta(i,:) = theta(1,:);
end
for i = 1:5
plot(theta(i,:),mises(i,:))
axis([-180 180 0 max(mises(i,:))])
hold on
end
通过修改理论分布的平均方向和浓度参数，可以将其与经验分布进行比较。
综上所述，聚类分析和方向数据统计分析在地球科学中都有着重要的应用。聚类分析可以帮助我们对数据进行分组，发现数据中的结构；而方向数据统计分析则可以帮助我们理解和描述具有方向特征的数据。在实际应用中，我们需要根据数据的特点选择合适的方法和参数，以获得准确和有用的结果。
总结
本文介绍了多元统计中的聚类分析和方向数据统计分析的相关内容。聚类分析通过计算对象之间的相似度和构建层次结构，将相似的对象分组。方向数据统计分析则包括图形表示、经验分布和理论分布的计算。通过这些方法，我们可以更好地理解和处理地球科学中的数据。
流程图
graph TD;
A[开始] --> B[计算相似度];
B --> C[选择聚类算法];
C --> D[构建层次结构];
D --> E[可视化聚类结果];
E --> F[评估聚类效果];
F --> G[结束];
表格
| 相似度度量方法 | 特点 | 适用情况 |
|---|---|---|
| 欧几里得距离 | 直观，计算两点间最短距离 | 数据分布较为均匀 |
| 曼哈顿距离 | 考虑差值总和 | 数据具有特定的空间结构 |
| 相关相似度系数 | 使用皮尔逊相关系数 | 关注变量间的比例关系 |
| 内积相似度指数 | 归一化向量长度并计算内积 | 传递函数应用 |
列表
- 聚类分析的步骤包括计算相似度和构建层次结构。
- 方向数据统计分析包括图形表示、经验分布和理论分布的计算。
- 在应用聚类算法前，需要评估数据属性并进行预处理。
多元统计与方向数据统计分析（续）
3. 多元统计与方向数据统计的应用拓展
在实际的地球科学研究中，多元统计和方向数据统计分析有着广泛的应用场景。
3.1 多元统计聚类分析的应用案例
以地球化学研究为例，聚类分析可以帮助我们识别不同地质体的地球化学特征。如上述提到的沉积物数据，通过聚类分析可以将来自不同岩石类型的沉积物样本进行分组。具体来说，我们可以根据聚类结果推测沉积物的来源和沉积环境。
-
判断沉积环境
：如果聚类结果显示某些样本聚集在一起，且这些样本的矿物组成具有特定的特征，我们可以推断它们可能来自相同的沉积环境。例如，含有大量长石和石英的样本可能来自砂岩沉积环境，而含有特殊矿物如萤石、闪锌矿和方铅矿的样本可能与热液活动相关。
-
研究地质演化
：通过对不同时期沉积物样本的聚类分析，我们可以了解地质演化过程中沉积环境的变化。如果在不同时间层位的样本聚类结果发生明显变化，可能暗示着地质构造活动、气候变化等因素的影响。
3.2 方向数据统计分析的应用案例
方向数据统计分析在古环境重建、构造地质等领域有着重要的应用。
-
古环境重建
：通过分析化石的定向排列，如前文提到的Orthoceras化石，我们可以推断古水流方向。这对于了解古代海洋或河流的流动模式、沉积环境等具有重要意义。例如，如果统计分析显示化石的定向排列指示了特定的古水流方向，我们可以结合其他地质证据，重建当时的海洋环流模式或河流系统。
-
构造地质研究
：在构造地质中，测量断层面上擦痕的方向、岩石中矿物的定向排列等方向数据，可以帮助我们了解地壳的应力状态和构造运动历史。例如，通过分析大量擦痕的方向数据，我们可以确定断层的运动方向和应力场的分布。
4. 实际操作中的注意事项
在进行多元统计和方向数据统计分析时，需要注意以下几点：
4.1 数据预处理
在进行聚类分析前，数据预处理是非常重要的步骤。
-
数据标准化
：由于不同变量的量纲和取值范围可能不同，为了避免某些变量对聚类结果产生过大的影响，需要对数据进行标准化处理。如上述提到的地球化学样本，
SiO2
和
Na2O
的含量差异很大，通过标准化可以使所有变量在聚类分析中具有相同的权重。
-
异常值处理
：异常值可能会对聚类结果产生较大的影响，因此需要对异常值进行识别和处理。可以使用统计方法如箱线图、Z - score 等识别异常值，并根据具体情况进行删除、替换或修正。
4.2 相似度度量方法的选择
不同的相似度度量方法适用于不同的数据类型和研究目的。
-
欧几里得距离
：适用于数据分布较为均匀、变量之间相互独立的情况。
-
曼哈顿距离
：当数据具有特定的空间结构，如城市街区布局时，曼哈顿距离更为合适。
-
相关相似度系数
：如果关注变量之间的比例关系，而不是具体的数值大小，相关相似度系数是一个不错的选择。但需要注意的是，该系数对异常值较为敏感，使用时需要谨慎。
-
内积相似度指数
：在传递函数应用中，内积相似度指数经常被使用，因为它可以有效地比较不同样本之间的相似性。
4.3 聚类算法的选择
不同的聚类算法适用于不同的数据特征和研究目的。
-
K - 均值聚类
：适用于数据具有明显的中心趋势，且数据的分布可以用均值和方差来描述的情况。
-
K - 最近邻聚类
：当数据具有自然的异质性，且不能用随机噪声来解释时，K - 最近邻聚类更为合适。
5. 进一步的研究方向
随着地球科学研究的不断发展，多元统计和方向数据统计分析也面临着新的挑战和机遇。
5.1 多源数据融合分析
在实际研究中，我们往往会获得多种类型的数据，如地球化学数据、地质年代数据、方向数据等。如何将这些多源数据进行融合分析，是未来的一个重要研究方向。例如，可以将聚类分析和方向数据统计分析相结合，综合考虑数据的多元特征和方向特征，以获得更全面的地质信息。
5.2 大数据和机器学习方法的应用
随着数据量的不断增加，传统的统计分析方法可能无法满足需求。大数据和机器学习方法的应用可以为多元统计和方向数据统计分析带来新的突破。例如，可以使用深度学习算法对大量的方向数据进行分类和预测，或者使用聚类算法对大规模的地球化学数据进行快速分析。
流程图
graph TD;
A[开始] --> B[收集多源数据];
B --> C[数据预处理];
C --> D[选择合适的相似度度量方法];
D --> E[选择合适的聚类算法];
E --> F[进行聚类分析];
F --> G[结合方向数据统计分析];
G --> H[结果评估和验证];
H --> I[输出最终结果];
I --> J[结束];
表格
| 注意事项 | 具体内容 |
|---|---|
| 数据预处理 | 数据标准化、异常值处理 |
| 相似度度量方法选择 | 根据数据类型和研究目的选择合适的方法 |
| 聚类算法选择 | 根据数据特征和研究目的选择合适的算法 |
列表
- 在实际应用中，需要结合具体的研究问题和数据特点，选择合适的分析方法和参数。
- 多源数据融合分析和大数据、机器学习方法的应用是未来的研究方向。
- 注意数据预处理、相似度度量方法选择和聚类算法选择等关键步骤，以获得准确和有用的结果。
综上所述，多元统计和方向数据统计分析在地球科学研究中具有重要的作用。通过合理应用这些方法，并结合实际的研究问题和数据特点，我们可以更好地理解地球的地质过程和演化历史。同时，随着技术的不断发展，我们也需要不断探索新的方法和技术，以应对日益复杂的研究挑战。
扫一扫
1545
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
