16、分数微积分中的算子应用与起重机控制研究

分数微积分中的算子应用与起重机控制研究

分数差分算子的渐近性质

考虑一阶和 ν 阶 nabla 差分方程：
- 一阶 nabla 差分方程：(\left(\nabla u\right)(t) = c(t)u(t))，(t \in N_{a + 1})。
- ν 阶 nabla 差分方程：(\left(\nabla^{\nu} {\rho(a)}u\right)(t) = c(t)u(t))，(t \in N {a + 1})。

对于一阶差分方程，当(\lim_{t \to \infty} \left|\prod_{s = a + 1}^{t} [1 + c(s)]\right| = 0)时，其每个解在(t \to \infty)时趋于 0。对于 ν 阶差分方程，若(|c(t) + \nu| \leq \nu)，(t \in N_{a + 1})，根据定理可知其每个解在(t \to \infty)时趋于 0。

例如，当(t \in N_1)，取(c(t) = 0)时，一阶差分方程(\left(\nabla u\right)(t) = 0)的解在(t \to \infty)时不趋于 0，而 ν 阶差分方程(\left(\nabla^{\nu}_{\rho(0)}u\right)(t) = 0)的解在(t \to \infty)时趋于 0。

Mikusiński 运算微积分在分数微积分中的应用

1. 引言

Mikusiński 运算微积分是一种用于理解微积分算子和求解微分方程的代数形式。它由波兰数学家 J. Mikusiński 在 20 世纪 50 年代提出，尽管比拉普拉斯变