23、有限经典群的代数结构与微分计算

有限经典群的代数结构与微分计算

1. 相关的霍普夫代数

1.1 离散拓扑与C*-代数

设 (G) 为有限群，其唯一的豪斯多夫拓扑是离散拓扑，即 (G) 的每个子集都是开集。由于 (G) 的任何覆盖都是有限的，所以 (G) 是紧致的。根据Gel’fand–Naimark理论，研究拓扑空间 (G) 等价于研究其连续函数的对偶C*-代数 (A = { \alpha | \alpha: G \to \mathbb{C} \text{ 是任意函数} })。函数的乘积是逐点定义的，即 (\alpha\beta(g) := \alpha(g)\beta(g))，这是一个交换乘法。

1.2 特征函数与基

对于 (G) 中的每个元素 (g)，子集 ({g}) 的特征函数 (\delta_g) 属于 (A)，且满足 (\delta_g(g) = 1)，(\delta_g(h) = 0)（(h \neq g)）。集合 ({ \delta_g | g \in G }) 是 (A) 的一个线性无关集，并且张成 (A)，因此它是 (A) 的一个基，(A) 是一个有限维向量空间，其维数等于 (G) 中元素的个数。这些元素具有以下性质：
- (\sum_{g \in G} \delta_g = 1)
- ((\delta_g)^* = \delta_g)
- ((\delta_g)^2 = \delta_g)
- (\delta_g\delta_h = 0)（(g \neq h)）

1.3 对偶运算

由于 (G) 具有群结构，我们可以在代数 (A) 上定义更多结构。通过拉回群乘法 (m: G \tim