18、群论与 0/1 - Borsuk 问题的深入探讨

群论与 0/1 - Borsuk 问题的深入探讨

1. 群论基础与可解群

在群论中，对于大多数的 (n)，若 (G) 是 (n) 次本原群，那么 (G \cong A_n) 或 (Σ_n)。当考虑群 (G) 的阶 (|G| < 60) 时，(G) 是可解群。以 (|G| = 36) 为例，选择 (G) 的一个 Sylow 3 - 子群 (S)。根据 Sylow 定理，Sylow 3 - 子群的个数要么是 1 个，要么是 4 个。
- 情况一：只有一个 Sylow 3 - 子群 ：此时该子群是正规的，且商群是 2 - 群，所以 (G) 是可解群。
- 情况二：有四个 Sylow 3 - 子群 ：存在一个从 (G) 到 (Σ_4) 的同态 (σ)，因为 (|Σ_4| = 24)，所以 (N = \kerσ \neq \varnothing)，且 (N \neq G)，因为 (G) 可传递地置换这四个 Sylow 3 - 子群。同时，(|N|) 和 (|G/N|) 都小于 (|G|)，可以通过归纳法继续证明。

下面是 Sylow 定理的具体内容：
设 (G) 是有限群，(|G| = p^a n)，其中 (p) 是素数且 (p) 不整除 (n)，则有：
1. (G) 拥有一个阶为 (p^a) 的子群 (P)（称这样的群为 (G) 的 Sylow (p) - 子群）。
2. (G) 的所有 Sylow (p) - 子群是共轭的（即若 (P_1)，(P_2) 是 Sylow (p) - 子群，则存在 (g \in G) 使得 (P_1 = g^{-1}P_2g := P_2^g)）