13、超多项式加速算法与阶查找问题

超多项式加速算法与阶查找问题

1. 量子算法基础与相关练习

在量子计算中，测量寄存器的操作有一些特殊的性质。在测量第一个寄存器之前对第二个寄存器进行操作是常见的情况。通过练习可以验证，对第二个系统进行求迹操作等价于对其进行测量，然后在不揭示测量结果的情况下将其丢弃。为了方便分析，我们可以假设第二个寄存器是在本征态基下进行测量并求迹的。例如对于特定状态，对第二个寄存器求迹后，第一个寄存器会处于由状态 (|\tilde{\omega}_j\rangle) 组成的混合态，其概率为 (|\alpha_j|^2)。这种描述第一个寄存器状态的方式对于分析许多算法很有用。

下面是一些相关的练习：

练习 7.2.2

• (a) 测量可观测量 (Z \otimes Z \otimes Z) 的替代算法 ：之前展示了如何使用量子电路实现奇偶性测量，并且证明了奇偶性测量等价于测量可观测量 (Z^{\otimes n})。现在需要描述一种使用一次 (c - (Z \otimes Z \otimes Z)) 门来测量可观测量 (Z \otimes Z \otimes Z) 的替代算法，并画出相应的电路 diagram。
• (b) 测量可观测量 (M = \sum_{i} m_iP_i) 的算法 ：假设 (m_i \in {0, 1, 2, \ldots, N - 1})，令 (U = e^{\frac{2\pi i}{N}M})。给定一次 (c - U^x) 操作（它将 (|x\rangle|\psi\rangle \mapsto |x\rangle U^x|\psi\ran